Caracterize todas as séries convergentes cujos termos são inteiros.
Passo 1
O enunciado nos pede para caracterizar todas as séries
cujo termo geral
é um número inteiro e que convergem.
O conteúdo aqui é teoria de séries numéricas: em particular, usamos a condição necessária de convergência de séries e propriedades de sequências inteiras.
O conteúdo aqui é teoria de séries numéricas: em particular, usamos a condição necessária de convergência de séries e propriedades de sequências inteiras.
Passo 2
Lembramos que uma condição necessária para
convergir é que o termo geral
tenda a zero, isto é,
Passo 3
Como cada
é um inteiro, a única forma de uma sequência inteira
tender a zero é que, a partir de algum índice
, todos os termos sejam exatamente zero. Caso contrário, se houvesse infinitos
, a sequência não poderia ficar arbitrariamente próxima de zero.
Logo, para que com
, deve existir
tal que
Logo, para que
Isto significa que a série tem apenas um número finito de termos não nulos.
Passo 4
Por outro lado, qualquer série com somente finitamente muitos termos não nulos é, na prática, uma soma finita de inteiros e, portanto, converge (pois soma de um número finito de termos é bem definida).
Resposta
As séries
com
convergem se e somente se existem apenas finitamente muitos termos não nulos, ou seja, se existe
tal que
para todo
.