Caracterize todas as séries convergentes cujos termos são inteiros.

Passo 1

O enunciado nos pede para caracterizar todas as séries
sumn=1^infty an
cujo termo geral an é um número inteiro e que convergem.
O conteúdo aqui é teoria de séries numéricas: em particular, usamos a condição necessária de convergência de séries e propriedades de sequências inteiras.

Passo 2

Lembramos que uma condição necessária para
sumn=1^infty an
convergir é que o termo geral an tenda a zero, isto é,
limntoinftyan=0

Passo 3

Como cada an é um inteiro, a única forma de uma sequência inteira an tender a zero é que, a partir de algum índice N, todos os termos sejam exatamente zero. Caso contrário, se houvesse infinitos anneq0, a sequência não poderia ficar arbitrariamente próxima de zero.
Logo, para que limntoinftyan=0 com aninZ, deve existir NinN tal que
an=0para todo n>N
Isto significa que a série tem apenas um número finito de termos não nulos.

Passo 4

Por outro lado, qualquer série com somente finitamente muitos termos não nulos é, na prática, uma soma finita de inteiros e, portanto, converge (pois soma de um número finito de termos é bem definida).

Resposta

As séries sumn=1^infty an com aninZ convergem se e somente se existem apenas finitamente muitos termos não nulos, ou seja, se existe N tal que an=0 para todo n>N.

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