Se uma série
converge, prove que
.
Resoluçāo: Indiquemos por
as reduzidas e por s a soma da série dada. Então
e portanto, dado
, existe um índice
tal que
. Assim, para todo
:
Logo:
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Passo 1
O enunciado afirma que a série
converge. Isso significa que suas somas parciais
têm limite finito, digamos
O conteúdo aqui é usar a definição de convergência de sequência (no caso,
) e a relação entre soma parcial e termo geral para mostrar que
.
Passo 2
Pela definição de limite de sequência, para dado
existe
tal que
Passo 3
Observe que para todo
vale
Aplicando desigualdade triangular e usando que tanto
quanto
estão a menos de
de
, obtemos
Resposta
Dessa forma, para todo
existe
tal que
sempre que
. Logo