Se uma série sumn=1^infty an converge, prove que lim an=0.
Resoluçāo: Indiquemos por sn(n=1,2,3, ldots) as reduzidas e por s a soma da série dada. Então lim sn=s e portanto, dado varepsilon>0, existe um índice r tal que |s-sn|<varepsilon2, forall n >= r. Assim, para todo n >= r :
|an+1|=|sn+1-sn|=|s-sn+ss+1-s| <=|s-sn|+|sn+1-s|<varepsilon
Logo: lim an=lim an+1=0

Passo 1

O enunciado afirma que a série sumn=1^inftyan converge. Isso significa que suas somas parciais
sn = sumk=1^n ak
têm limite finito, digamos
limntoinftysn = s in R
O conteúdo aqui é usar a definição de convergência de sequência (no caso, (sn)) e a relação entre soma parcial e termo geral para mostrar que limntoinftyan=0.

Passo 2

Pela definição de limite de sequência, para dado varepsilon>0 existe NinN tal que
|sn-s|<varepsilon2 forall,n>= N

Passo 3

Observe que para todo n>= N vale
an+1 ;=; sn+1-sn
Aplicando desigualdade triangular e usando que tanto sn quanto sn+1 estão a menos de varepsilon2 de s, obtemos
|an+1| = |sn+1-sn| ;=;|,sn+1-s + s - sn,| ;<=;|sn+1-s| + |s - sn| ;<;varepsilon2 + varepsilon2 ;=;varepsilon

Resposta

Dessa forma, para todo varepsilon>0 existe N tal que |an|<varepsilon sempre que n>= N. Logo
limntoinftyan = 0

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