Prove que são irracionais os números cos 40^circ e cos 10^circ.

Passo 1

Resumindo: queremos mostrar que cos40^circ e cos10^circ não podem ser números racionais. Para isso usaremos a identidade trigonométrica do triplo de ângulo,
cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta,
mais o teste de raiz racional e o fato de raiz3 ser irracional.

Passo 2

Aplicando theta=40^circ na identidade do triplo de ângulo, seja x=cos40^circ. Então
cos120^circ = -tfrac12 = 4x^3-3x
Reescrevendo:
4x^3-3x + tfrac12 = 0 Longrightarrow 8x^3-6x+1=0

Passo 3

Pelo teste de raiz racional, qualquer raiz racional p/q (em forma irreduzível) desse polinômio satisfaria pmid1 e qmid8. As possibilidades são
pm1,;pmtfrac12,;pmtfrac14,;pmtfrac18
Verificamos que nenhuma dessas satisfaz 8x^3-6x+1=0. Logo x=cos40^circ não é racional.

Passo 4

Agora aplique theta=10^circ. Seja y=cos10^circ. De novo pela identidade,
cos30^circ = tfracraiz32 = 4y^3-3y
Se y fosse racional, o lado esquerdo tfracraiz32 seria racional, mas sabemos que raiz3 é irracional. Contradição. Assim y=cos10^circ também é irracional.

Resposta

Fica demonstrado que cos40^circ e cos10^circ são números irracionais.

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