Prove que são irracionais os números
.
Passo 1
Resumindo: queremos mostrar que
e
não podem ser números racionais. Para isso usaremos a identidade trigonométrica do triplo de ângulo,
mais o teste de raiz racional e o fato de
ser irracional.
Passo 2
Aplicando
na identidade do triplo de ângulo, seja
. Então
Reescrevendo:
Passo 3
Pelo teste de raiz racional, qualquer raiz racional
(em forma irreduzível) desse polinômio satisfaria
e
. As possibilidades são
Verificamos que nenhuma dessas satisfaz
. Logo
não é racional.
Passo 4
Agora aplique
. Seja
. De novo pela identidade,
Se
fosse racional, o lado esquerdo
seria racional, mas sabemos que
é irracional. Contradição. Assim
também é irracional.
Resposta
Fica demonstrado que
e
são números irracionais.