Use a identidade
para mostrar que
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é irracional usando a identidade de ângulo múltiplo
Precisaremos aplicar essa identidade com
e, em seguida, usar o Teorema das Raízes Racionais para concluir que não pode haver solução racional.
Passo 2
Escolhendo
, temos
e portanto
Na identidade substituímos
, com
, de modo que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração, obtemos o polinômio
Chamemos esse polinômio de
. Note que se por acaso
fosse racional, ele teria de ser raiz de
com coeficientes inteiros.
Passo 4
Pela inspeção (ou teste rápido), vê-se que
satisfaz
, mas isso corresponde a
, absurdo. Logo podemos dividir
por
. A divisão polinomial dá o quociente
Dividindo ainda por
, chega-se ao polinômio
cuja raiz de interesse é
.
Passo 5
Pelo Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional de
deve ser da forma
, onde
e
. Ou seja,
. Basta checar cada um:
- Para ou
,
.
- Para ,
- Para
- Para
- Testes análogos para
também dão valor diferente de zero.
Logo não tem nenhuma raiz racional.
Logo
Resposta
Como
é raiz de
mas esse polinômio não admite raízes racionais, concluímos que
é irracional.