Use a identidade cos 5 theta=16 cos ^5 theta-20 cos ^3 theta+5 cos theta para mostrar que cos 12^circ é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que cos12^circ é irracional usando a identidade de ângulo múltiplo
cos5theta = 16cos^5theta - 20cos^3theta + 5costheta
Precisaremos aplicar essa identidade com theta=12^circ e, em seguida, usar o Teorema das Raízes Racionais para concluir que não pode haver solução racional.

Passo 2

Escolhendo theta=12^circ, temos 5theta=60^circ e portanto
cos(5cdot12^circ)=cos60^circ=tfrac12
Na identidade substituímos costheta=x, com x=cos12^circ, de modo que
16x^5 -20x^3 +5x = tfrac12

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração, obtemos o polinômio
32x^5 -40x^3 +10x -1 = 0
Chamemos esse polinômio de f(x). Note que se por acaso x fosse racional, ele teria de ser raiz de f com coeficientes inteiros.

Passo 4

Pela inspeção (ou teste rápido), vê-se que x=tfrac12 satisfaz f(x)=0, mas isso corresponde a cos12^circ=tfrac12, absurdo. Logo podemos dividir f(x) por x-tfrac12. A divisão polinomial dá o quociente
32x^4 +16x^3 -32x^2 -16x +2
Dividindo ainda por 2, chega-se ao polinômio
p(x) = 16x^4 + 8x^3 -16x^2 -8x +1,
cuja raiz de interesse é x=cos12^circ.

Passo 5

Pelo Teorema das Raízes Racionais, qualquer raiz racional de p(x) deve ser da forma pmde, onde dmid1 e emid16. Ou seja, pm1,pmtfrac12,pmtfrac14,pmtfrac18,pmtfrac116. Basta checar cada um:
- Para x=1 ou x=-1, p(x)=1neq0.
- Para x=pmtfrac12,
pl(pmtfrac12r) =16l(tfrac116r) +8l(pmtfrac18r) -16l(tfrac14r) -8l(pmtfrac12r) +1 neq 0
- Testes análogos para pmtfrac14,pmtfrac18,pmtfrac116 também dão valor diferente de zero.
Logo p(x) não tem nenhuma raiz racional.

Resposta

Como cos12^circ é raiz de p(x) mas esse polinômio não admite raízes racionais, concluímos que cos12^circ é irracional.

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