O serviço tinyurl.com permite que você substitua um endereço de internet longo por um menor. Por exemplo, você pode pedir que o serviço direcione as pessoas para
http://www.faculdadecara.br/departamentos/matematica/dificil/discreta
quando elas entram no endereço http://tinyurl.com/sd8k3 em um navegador de internet.
(a) Quantas URLs diferentes da forma http://tinyurl.com/***** são possíveis, se ***** pode ser qualquer cadeia dos caracteres a, b, ldots, z e 0,1, ldots, 9 ? (Caracteres repetidos são permitidos.)
(b) Quantas URLs diferentes da forma http://tinyurl.com/***** são possíveis, se ***** deve ser uma cadeia consistindo em três letras (a, b, ldots, z) seguida de dois dígitos (0,1, ldots, 9) ? (Repetições são permitidas.) Por exemplo, ace44, cub98.
(c) Suponha que uma cadeia arbitrária ***** de letras e dígitos (como na questão 9a) é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de que essa cadeia não contenha dígitos?

Passo 1

O enunciado pede para contar cadeias de comprimento cinco formadas por caracteres de um alfabeto com 26 letras (a,b,dots,z) e 10 dígitos (0,1,dots,9). Vamos usar o princípio multiplicativo, que diz que se cada posição de uma cadeia pode ser escolhida de m maneiras independentemente, então o total de cadeias é o produto dos números de escolhas em cada posição.

Passo 2

(a) Aqui cada uma das cinco posições pode ser qualquer um dos 36 caracteres ( 26 letras +10 dígitos). Pelo princípio multiplicativo, o número de URLs possíveis é
36^5

Passo 3

(b) Agora as cinco posições são restritas: as três primeiras devem ser letras e as duas últimas, dígitos. Assim temos 26 escolhas para cada uma das três primeiras posições e 10 escolhas para cada uma das duas últimas. Logo,
26^3 times 10^2

Passo 4

(c) Se uma cadeia de cinco caracteres é escolhida ao acaso do mesmo alfabeto de 36 símbolos, a probabilidade de não conter dígitos é a razão entre o número de cadeias formadas só por letras e o total de cadeias. O número de cadeias só de letras é 26^5, e o total é 36^5. Portanto,
26^536^5

Resposta

(a) 36^5
(b) 26^3 times 10^2
(c) 26^536^5

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