O símbolo [x] (leia-se "colchete de x ") é usado para indicar o maior inteiro que é menor ou igual a um número real x. Por exemplo, [1]=1,[2,1]=2,[pi]=3 e [-1,7]=-2.
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a) y=[x];
(b) y=x-[x];
(c) y=raizx-[x];
(d) y=[x]+raizx-[x];
(e) y=raizx-[raizx], 0 <= x <= 9.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos os gráficos de funções definidas em termos do colchete de x (função piso, lfloor xrfloor) e da parte fracionária x=x-lfloor xrfloor. Vamos usar o fato de que em cada intervalo [n,n+1), com ninZ, a função piso é constante igual a n e a parte fracionária varia de 0 a 1.

Passo 2

Para y=lfloor xrfloor:
Em cada intervalo [n,n+1), a função vale n. Nos pontos inteiros x=n ela é contínua pela direita e descontínua pela esquerda, ou seja, em x=n há um ponto sólido em (n,n) (valor pela direita) e um ponto aberto em (n,n-1) (valor pela esquerda). O gráfico é uma “escada” horizontal que salta em 1 a cada inteiro de x.

Passo 3

Para y=x-lfloor xrfloor (a parte fracionária x):
Em cada intervalo [n,n+1) temos
y = x - n,
uma reta de inclinação 1 que vai de (n,0) (incluso) até (n+1,1) (aberto). Assim formamos um “dente de serra” que se repete a cada unidade de x.

Passo 4

Para y=raizx-lfloor xrfloor=raizx:
Ainda em cada [n,n+1) temos
y=raizx-n,
que é o ramo da raiz quadrada definido em [n,n+1), começando em (n,0) e subindo de forma côncava até (n+1,1) (aberto). Esse padrão se repete em cada célula de largura 1.

Passo 5

Para y=lfloor xrfloor+raizx-lfloor xrfloor:
Em cada intervalo [n,n+1) combinamos o piso constante n com a curva raizx-n, obtendo
y = n + raizx-n,
que parte de (n,n) e sobe côncava até (n+1,n+1) (aberto). No ponto x=n+1 há salto para o próximo ramo que começa em (n+1,n+1) fechado.

Passo 6

Para y=raizx-lfloor raizxrfloor em 0<= x<=9:
Defina u=raizx. Então y=u-lfloor urfloor=u. Os saltos ocorrem quando u é inteiro, isto é, em x=0^2,1^2,2^2,3^2, ou seja x=0,1,4,9. Em cada intervalo [k^2,(k+1)^2), com k=0,1,2, temos
y = raizx - k,
que cresce de 0 até 1 (aberto no final). Em x=9 fecha em y=0.

Resposta

(a) Gráfico “escada” de degraus unitários: constante lfloor xrfloor=n em [n,n+1), salto de 1 em cada inteiro.
(b) “Dente de serra”: reta y=x-n em [n,n+1), indo de (n,0) incluso até (n+1,1) aberto.
(c) Repetição de arcos de raiz: em [n,n+1), y=raizx-n de (n,0) a (n+1,1) aberto, côncavo para baixo.
(d) Em [n,n+1), y=n+raizx-n, ramo de raiz deslocado verticalmente por n, indo de (n,n) a (n+1,n+1) aberto, com salto para o próximo ramo.
(e) Em [k^2,(k+1)^2) para k=0,1,2, gráfico de y=raizx-k, subindo de 0 a 1 (aberto no final), com quebras em x=0,1,4,9 e valor zero em x=9.

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