O símbolo
(leia-se "colchete de
") é usado para indicar o maior inteiro que é menor ou igual a um número real
. Por exemplo,
e
.
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos os gráficos de funções definidas em termos do colchete de
(função piso,
) e da parte fracionária
. Vamos usar o fato de que em cada intervalo
, com
, a função piso é constante igual a
e a parte fracionária varia de
a
.
Passo 2
Para
:
Em cada intervalo , a função vale
. Nos pontos inteiros
ela é contínua pela direita e descontínua pela esquerda, ou seja, em
há um ponto sólido em
(valor pela direita) e um ponto aberto em
(valor pela esquerda). O gráfico é uma “escada” horizontal que salta em 1 a cada inteiro de
.
Em cada intervalo
Passo 3
Para
(a parte fracionária
):
Em cada intervalo temos
Em cada intervalo
uma reta de inclinação
que vai de
(incluso) até
(aberto). Assim formamos um “dente de serra” que se repete a cada unidade de
.
Passo 4
Para
:
Ainda em cada temos
Ainda em cada
que é o ramo da raiz quadrada definido em
, começando em
e subindo de forma côncava até
(aberto). Esse padrão se repete em cada célula de largura 1.
Passo 5
Para
:
Em cada intervalo combinamos o piso constante
com a curva
, obtendo
Em cada intervalo
que parte de
e sobe côncava até
(aberto). No ponto
há salto para o próximo ramo que começa em
fechado.
Passo 6
Para
em
:
Defina . Então
. Os saltos ocorrem quando
é inteiro, isto é, em
, ou seja
. Em cada intervalo
, com
, temos
Defina
que cresce de
até
(aberto no final). Em
fecha em
.
Resposta
(a) Gráfico “escada” de degraus unitários: constante
em
, salto de 1 em cada inteiro.
(b) “Dente de serra”: reta em
, indo de
incluso até
aberto.
(c) Repetição de arcos de raiz: em ,
de
a
aberto, côncavo para baixo.
(d) Em ,
, ramo de raiz deslocado verticalmente por
, indo de
a
aberto, com salto para o próximo ramo.
(e) Em para
, gráfico de
, subindo de 0 a 1 (aberto no final), com quebras em
e valor zero em
.
(b) “Dente de serra”: reta
(c) Repetição de arcos de raiz: em
(d) Em
(e) Em