Ache a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
que se move de tal modo que.
o produto de suas distâncias a
e
seja
(essa curva chama-se lemniscata). Esboce os gráficos.
o produto de suas distâncias a
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico do ponto
tal que o produto das distâncias de
aos pontos
e
seja
.
Conteúdo: geometria analítica no plano, uso da fórmula da distância entre pontos e manipulação algébrica para encontrar a equação cartesiana da curva (lemniscata de Bernoulli).
Conteúdo: geometria analítica no plano, uso da fórmula da distância entre pontos e manipulação algébrica para encontrar a equação cartesiana da curva (lemniscata de Bernoulli).
Passo 2
Seja
A condição do enunciado é
Passo 3
Elevamos ao quadrado para eliminar as raízes:
Agora expandimos cada fator:
O produto fica
Logo
Passo 4
Simplificando a expressão anterior:
Reagrupando, obtemos a forma padrão da lemniscata:
Passo 5
Esboço do gráfico:
– A curva é simétrica em relação aos eixos e
.
– Há duas “folhas” (laçadas) unidas na origem: uma voltada para a direita e outra para a esquerda.
– Quando , da equação vem
ou
, mostrando que as laçadas se estendem até
.
– Para existir ponto real, precisa , ou seja, as laçadas ficam na região
.
– A curva é simétrica em relação aos eixos
– Há duas “folhas” (laçadas) unidas na origem: uma voltada para a direita e outra para a esquerda.
– Quando
– Para existir ponto real, precisa