Ache a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P=(x, y) que se move de tal modo que.
o produto de suas distâncias a (a, 0) e (-a, 0) seja a^2 (essa curva chama-se lemniscata). Esboce os gráficos.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico do ponto P=(x,y) tal que o produto das distâncias de P aos pontos (a,0) e (-a,0) seja a^2.
Conteúdo: geometria analítica no plano, uso da fórmula da distância entre pontos e manipulação algébrica para encontrar a equação cartesiana da curva (lemniscata de Bernoulli).

Passo 2

Seja
d1 = distl(P,(a,0)r)=raiz(x-a)^2 + y^2,
d2 = distl(P,(-a,0)r)=raiz(x+a)^2 + y^2
A condição do enunciado é
d1 ,d2 = a^2

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar as raízes:
(d1,d2)^2 = a^4 Longrightarrow l((x-a)^2 + y^2r)l((x+a)^2 + y^2r) = a^4
Agora expandimos cada fator:
(x-a)^2 + y^2 = x^2 -2ax + a^2 + y^2,
(x+a)^2 + y^2 = x^2 +2ax + a^2 + y^2
O produto fica
l(x^2+y^2 + a^2 -2axr)l(x^2+y^2 + a^2 +2axr) = l(x^2+y^2 + a^2r)^2 - (2ax)^2
Logo
l(x^2+y^2 + a^2r)^2 -4a^2x^2 = a^4

Passo 4

Simplificando a expressão anterior:
(x^2+y^2)^2 +2a^2(x^2+y^2) + a^4 -4a^2x^2 = a^4 ;Longrightarrow; (x^2+y^2)^2 -2a^2x^2 +2a^2y^2 = 0
Reagrupando, obtemos a forma padrão da lemniscata:
boxed(x^2+y^2)^2 = 2a^2l(x^2 - y^2r)

Passo 5

Esboço do gráfico:
– A curva é simétrica em relação aos eixos x e y.
– Há duas “folhas” (laçadas) unidas na origem: uma voltada para a direita e outra para a esquerda.
– Quando y=0, da equação vem x=0 ou x=pmraiz2,a, mostrando que as laçadas se estendem até x=pmraiz2,a.
– Para existir ponto real, precisa x^2>= y^2, ou seja, as laçadas ficam na região lvert yrvert<=lvert xrvert.

Resposta

(x^2+y^2)^2 = 2a^2l(x^2 - y^2r)

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