23 Sirius, a estrela mais brilhante visível da Terra com exceção do nosso Sol, está a 8,6 anos-luz da Terra. Alfa Centauro, a estrela mais próxima da Terra com exceção do nosso Sol, está a 4,4 anos-luz da Terra. Se o ângulo Sirius - Terra - Alfa Centauro é de 49^{\circ}, então qual a distância entre Sirius e Alfa Centauro?

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo formado por Sirius ( S), a Terra ( T) e Alfa Centauro ( A). Sabemos que as distâncias ST e TA são respectivamente 8,6 anos-luz e 4,4 anos-luz, e o ângulo em T entre as direções para S e A vale 49^\circ. O que queremos é a distância SA.

Passo 2

Para relacionar as três arestas de um triângulo com um de seus ângulos, usamos a Lei dos Cossenos. Se definirmos
a = SA, b = ST e c = TA, e chamarmos de \alpha o ângulo em T, então vale
a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c\,\cos\alpha.

Passo 3

Substituindo b = 8,6, c = 4,4 e \alpha = 49^\circ, temos
b^2 = (8,6)^2 = 73,96, \qquad c^2 = (4,4)^2 = 19,36,
2\,b\,c = 2 \times 8,6 \times 4,4 = 75,68,
2\,b\,c\,\cos\alpha = 75,68 \times \cos(49^\circ) \approx 75,68 \times 0,6561 \approx 49,68.
Portanto
a^2 = 73,96 + 19,36 - 49,68 = 43,64.

Passo 4

Para encontrar a, basta extrair raiz quadrada:
a = \sqrt{43,64} \approx 6,61.

Resposta

A distância entre Sirius e Alfa Centauro é aproximadamente 6,6 anos-luz.

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