Sobre os lados de um triângulo retângulo A B C de lados 6 cm, 6 raiz3 cm e 12 cm construímos três quadrados externos. Calcule a medida dos lados do triângulo determinado pelos centros desses quadrados.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com hipotenusa de 12 cm e catetos de 6 cm e 6raiz3 cm, e pede o comprimento dos lados do triângulo cujos vértices são os centros dos quadrados construídos externamente sobre os três lados de ABC. Vamos usar geometria analítica: colocar A,B,C em coordenadas, achar as coordenadas dos centros dos quadrados girando cada lado de 90^circ, e então calcular as distâncias entre esses centros.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0), B=(6,0), C=(0,6raiz3),
de modo que AB=6, AC=6raiz3 e BC=12.
Quadrado em AB: o vetor AB=(6,0) gira -90^circ para (0,-6). O centro do quadrado é o ponto médio de AB, (3,0), deslocado de metade desse vetor perpendicular, l(0,-3r).
OAB=l(3,0r)+l(0,-3r)=(3,-3)

Passo 3

Quadrado em AC: o vetor AC=(0,6raiz3) gira +90^circ para (-6raiz3,0). O ponto médio de AC é l(0,3raiz3r), somamos metade do vetor perpendicular, l(-3raiz3,0r).
OAC=l(0,3raiz3r)+l(-3raiz3,0r)=(-3raiz3,,3raiz3)

Passo 4

Quadrado em BC: o vetor BC=(-6,6raiz3) gira -90^circ para l(6raiz3,6r). O ponto médio de BC é
l(tfrac6+02,tfrac0+6raiz32r)=(3,3raiz3),
e somamos metade do vetor perpendicular, l(3raiz3,3r):
OBC=(3,3raiz3)+(3raiz3,3)=(3+3raiz3,;3raiz3+3)

Passo 5

Agora calculamos as distâncias entre esses três pontos.
  1. OABOAC:
De<a x=-3raiz3-3, De<a y=3raiz3+3,
(OABOAC)^2 =(-3raiz3-3)^2+(3raiz3+3)^2 =36l(2+raiz3r),
OABOAC=6raiz2+raiz3
  1. OABOBC:
De<a x=(3+3raiz3)-3=3raiz3, De<a y=(3raiz3+3)-(-3)=3raiz3+6,
(OABOBC)^2=(3raiz3)^2+(3raiz3+6)^2 =18l(5+2raiz3r),
OABOBC=3raiz2,raiz5+2raiz3
  1. OACOBC:
De<a x=(3+3raiz3)-(-3raiz3)=3+6raiz3, De<a y=(3raiz3+3)-(3raiz3)=3,
(OACOBC)^2=(3+6raiz3)^2+3^2 =18l(7+2raiz3r),
OACOBC=3raiz2,raiz7+2raiz3

Resposta

Os lados do triângulo formado pelos centros dos quadrados medem
6raiz2+raiz3,, 3raiz2,raiz5+2raiz3,, 3raiz2,raiz7+2raiz3 (em cm)

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