Sobre os lados de um triângulo retângulo de lados e 12 cm construímos três quadrados externos. Calcule a medida dos lados do triângulo determinado pelos centros desses quadrados.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo com hipotenusa de cm e catetos de cm e cm, e pede o comprimento dos lados do triângulo cujos vértices são os centros dos quadrados construídos externamente sobre os três lados de . Vamos usar geometria analítica: colocar em coordenadas, achar as coordenadas dos centros dos quadrados girando cada lado de , e então calcular as distâncias entre esses centros.
Passo 2
Escolhemos
de modo que , e .
Quadrado em : o vetor gira -90^circ para (0,-6). O centro do quadrado é o ponto médio de AB, (3,0), deslocado de metade desse vetor perpendicular, l(0,-3r).
OAB=l(3,0r)+l(0,-3r)=(3,-3)
Passo 3
Quadrado em AC: o vetor AC=(0,6raiz3) gira +90^circ para (-6raiz3,0). O ponto médio de AC é l(0,3raiz3r), somamos metade do vetor perpendicular, l(-3raiz3,0r).
OAC=l(0,3raiz3r)+l(-3raiz3,0r)=(-3raiz3,,3raiz3)
Passo 4
Quadrado em BC: o vetor BC=(-6,6raiz3) gira -90^circ para l(6raiz3,6r). O ponto médio de BC é
l(tfrac6+02,tfrac0+6raiz32r)=(3,3raiz3),
e somamos metade do vetor perpendicular, l(3raiz3,3r):
OBC=(3,3raiz3)+(3raiz3,3)=(3+3raiz3,;3raiz3+3)
Passo 5
Agora calculamos as distâncias entre esses três pontos.