Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm . Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido formado por dois cones retos idênticos (mesmo raio da base e mesma altura) de base comum de raio
,cm. A área total do sólido (que é a soma das duas áreas laterais, já que a base comum não é superfície externa) é igual à superfície de uma esfera de raio
,cm. Para resolver, vamos usar:
- Fórmula da área lateral de um cone de raio
e geratriz :
- Fórmula da área de uma esfera de raio
:
- Relação entre geratriz, raio e altura
:
- Fórmula do volume de um cone:
e da esfera:
Passo 2
Como o sólido tem duas áreas laterais iguais, sua área total externa é
Igualando à área da esfera de mesmo raio
,cm, temos
Passo 3
Da igualdade
segue
Substituindo
, obtemos
Passo 4
O volume de cada cone é
Logo, o volume total do sólido (dois cones) é
Passo 5
O volume da esfera de raio
é
Passo 6
A razão entre os volumes do sólido e da esfera é
Resposta
A razão entre o volume do sólido e o volume da esfera é
.