Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm . Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido formado por dois cones retos idênticos (mesmo raio da base e mesma altura) de base comum de raio 6,cm. A área total do sólido (que é a soma das duas áreas laterais, já que a base comum não é superfície externa) é igual à superfície de uma esfera de raio 6,cm. Para resolver, vamos usar:
  • Fórmula da área lateral de um cone de raio R e geratriz g:
Alat=pi R,g
  • Fórmula da área de uma esfera de raio R:
Aesf=4pi R^2
  • Relação entre geratriz, raio e altura h:
g=raizR^2+h^2
  • Fórmula do volume de um cone:
Vcone=13pi R^2h,
e da esfera:
Vesf=43pi R^3

Passo 2

Como o sólido tem duas áreas laterais iguais, sua área total externa é
2l(pi R,gr)
Igualando à área da esfera de mesmo raio R=6,cm, temos
2pi R,g ;=;4pi R^2

Passo 3

Da igualdade 2pi R,g=4pi R^2 segue
g=2R
Substituindo g=raizR^2+h^2, obtemos
raizR^2+h^2=2R Longrightarrow R^2+h^2=4R^2 Longrightarrow h^2=3R^2 Longrightarrow h=Rraiz3

Passo 4

O volume de cada cone é
Vcone =13pi R^2h =13pi R^2l(Rraiz3r) =pi R^3raiz33
Logo, o volume total do sólido (dois cones) é
Vsólido =2,Vcone =2pi R^3raiz33 ó

Passo 5

O volume da esfera de raio R é
Vesf =43pi R^3

Passo 6

A razão entre os volumes do sólido e da esfera é
VsólidoVesf =2pi R^3raiz334pi R^33 =2raiz34 =raiz32 ó

Resposta

A razão entre o volume do sólido e o volume da esfera é raiz32.

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