Calcule a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro da esfera, sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela seção plana e que o raio da esfera mede 17 cm .

Passo 1

O enunciado pede a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro, sabendo que a área do círculo máximo é quatro vezes a área da seção e o raio da esfera é 17 cm. Vamos chamar de r o raio da seção (que é um círculo) e de d a distância do centro da esfera ao plano da seção. Usaremos a relação de áreas de círculos e o teorema de Pitágoras no triângulo que liga o centro da esfera ao plano.

Passo 2

A área do círculo máximo é pi R^2 e a da seção é pi r^2. Como a primeira é quatro vezes a segunda,
pi R^2 = 4,pi r^2,
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r^2 = R^24 = 17^24, r = 172 cm

Passo 3

No triângulo retângulo cujo hipotenusa é R e catetos são r e d, vale
d^2 + r^2 = R^2
Substituindo r^2=tfrac2894 e R^2=289, temos
d^2 = 289 - 2894 = 3cdot2894,
portanto
d = 17raiz32 cm

Resposta

A distância da seção plana ao centro da esfera é tfrac17raiz32 cm.

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