Suponha que a_{j} \equiv b_{j}(\bmod m) para j=1,2, \ldots, n. Use a indução matemática para demonstrar que
a) \sum_{j=1}^{n} a_{j} \equiv \sum_{j=1}^{n} b_{j}(\bmod m).
b) \prod_{j=1}^{n} a_{j} \equiv \prod_{j=1}^{n} b_{j}(\bmod m).

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências de inteiros (a_j) e (b_j) tais que \,a_j\equiv b_j\pmod m para todo j=1,2,\dots,n. Precisamos provar, por indução em n, que
a) \sum_{j=1}^n a_j\equiv \sum_{j=1}^n b_j\pmod m.
b) \prod_{j=1}^n a_j\equiv \prod_{j=1}^n b_j\pmod m.
Usaremos a propriedade de que equivalências modulares se preservam sob soma e produto e o princípio de indução matemática.

Passo 2

Prova de (a), caso base n=1.
Para n=1 temos \sum_{j=1}^{1}a_j = a_1 e \sum_{j=1}^{1}b_j = b_1.
Como a_1\equiv b_1\pmod m por hipótese, segue \sum_{j=1}^{1}a_j\equiv \sum_{j=1}^{1}b_j\pmod m.
Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Prova de (a), passo de indução.
Suponha que para algum k\ge1 já valha
\sum_{j=1}^{k}a_j \equiv \sum_{j=1}^{k}b_j \pmod m.
Queremos mostrar que
\sum_{j=1}^{k+1}a_j \equiv \sum_{j=1}^{k+1}b_j \pmod m.
Observe que
\sum_{j=1}^{k+1}a_j =\Bigl(\sum_{j=1}^{k}a_j\Bigr)+a_{k+1} \equiv \Bigl(\sum_{j=1}^{k}b_j\Bigr)+b_{k+1} =\sum_{j=1}^{k+1}b_j\pmod m,
onde a primeira equivalência usa a hipótese de indução e o fato de a_{k+1}\equiv b_{k+1}\pmod m, e sabemos que soma preserva congruência. Assim, o passo de indução está completo.

Passo 4

Prova de (b), caso base n=1.
Para n=1 temos \prod_{j=1}^{1}a_j = a_1 e \prod_{j=1}^{1}b_j = b_1.
Como a_1\equiv b_1\pmod m, segue \prod_{j=1}^{1}a_j\equiv \prod_{j=1}^{1}b_j\pmod m.
Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 5

Prova de (b), passo de indução.
Suponha que para algum k\ge1 já valha
\prod_{j=1}^{k}a_j \equiv \prod_{j=1}^{k}b_j \pmod m.
Queremos mostrar que
\prod_{j=1}^{k+1}a_j \equiv \prod_{j=1}^{k+1}b_j \pmod m.
Temos
\prod_{j=1}^{k+1}a_j =\Bigl(\prod_{j=1}^{k}a_j\Bigr)\cdot a_{k+1} \equiv \Bigl(\prod_{j=1}^{k}b_j\Bigr)\cdot b_{k+1} =\prod_{j=1}^{k+1}b_j\pmod m,
onde usamos a hipótese de indução e o fato de que produto preserva congruência mod m. Assim, o passo de indução está completo.

Resposta

a) Para todo n\ge1 vale \displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_j\equiv \sum_{j=1}^{n}b_j\pmod m.
b) Para todo n\ge1 vale \displaystyle \prod_{j=1}^{n}a_j\equiv \prod_{j=1}^{n}b_j\pmod m.

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