Encontre um número inteiro
, tal que
sempre que
for maior que
. Demonstre que seu resultado está correto usando a indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um inteiro
tal que
para todo
, e depois demonstrar esse fato por indução matemática. Vamos primeiro descobrir qual é esse
testando valores de
, e em seguida montar a prova indutiva.
Passo 2
Vamos calcular
e
para valores crescentes de
:
A primeira vez que
ultrapassa
é em
. Logo, para todo
(isto é,
) vale
. Podemos então tomar
Passo 3
Base da indução: verificamos diretamente para
que
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
valha a hipótese de indução
Queremos mostrar que então
De fato,
Basta provar que
Isto equivale a
Para
podemos estimar
Somando,
Portanto
, e assim
. Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
O menor inteiro
que funciona é
pois para todo temos de fato
, conforme provado por indução.
pois para todo