Encontre um número inteiro N, tal que 2^{n}>n^{4} sempre que n for maior que N. Demonstre que seu resultado está correto usando a indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um inteiro N tal que
2^n > n^4
para todo n > N, e depois demonstrar esse fato por indução matemática. Vamos primeiro descobrir qual é esse N testando valores de n, e em seguida montar a prova indutiva.

Passo 2

Vamos calcular 2^n e n^4 para valores crescentes de n:
\begin{aligned} n=1:&\quad 2^1=2,\quad 1^4=1\quad(\text{ok});\\\ n=2:&\quad 2^2=4,\quad 2^4=16\quad(\text{falha});\\\ &\;\;\vdots\\\ n=16:&\quad 2^{16}=65536,\quad 16^4=65536\quad(\text{igual, não }>\!);\\\ n=17:&\quad 2^{17}=131072,\quad 17^4=83521\quad(131072>83521). \end{aligned}ã
A primeira vez que 2^n ultrapassa n^4 é em n=17. Logo, para todo n>16 (isto é, n\ge17) vale 2^n>n^4. Podemos então tomar
N = 16.

Passo 3

Base da indução: verificamos diretamente para n=17 que
2^{17}=131072 > 83521 = 17^4.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge17 valha a hipótese de indução
2^k > k^4.
Queremos mostrar que então
2^{k+1} > (k+1)^4.
De fato,
2^{k+1} = 2\cdot 2^k > 2\,k^4.
Basta provar que
2\,k^4 > (k+1)^4 = k^4 + 4k^3 +6k^2 +4k +1.
Isto equivale a
k^4 > 4k^3 +6k^2 +4k +1.
Para k\ge17 podemos estimar
4k^3 \le \frac{4}{17}\,k^4,\quad 6k^2 \le \frac{6}{17^2}\,k^4,\quad 4k \le \frac{4}{17^3}\,k^4,\quad 1 \le \frac{1}{17^4}\,k^4.
Somando,
4k^3+6k^2+4k+1 \le \Bigl(\tfrac{4}{17}+\tfrac{6}{17^2}+\tfrac{4}{17^3}+\tfrac{1}{17^4}\Bigr)\,k^4 < 0,26\,k^4 < k^4.
Portanto k^4 > 4k^3+6k^2+4k+1, e assim 2\,k^4 > (k+1)^4. Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

O menor inteiro N que funciona é \boxed{16},
pois para todo n>16 temos de fato 2^n > n^4, conforme provado por indução.

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