65 Suponha f(x)=\log x e g(x)=\log \left(100 x^{3}\right). Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pelo alongamento vertical do gráfico de f por um fator 3 e depois por seu deslocamento 2 unidades para cima.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=\log x e g(x)=\log\bigl(100x^3\bigr) e quer explicar por que o gráfico de g sai do de f apenas esticando verticalmente por fator 3 e depois deslocando 2 unidades para cima. O conteúdo aqui é transformação de gráfico: alongamento vertical e translação vertical.

Passo 2

Usamos as propriedades de logaritmo para reescrever g:
\log\bigl(100x^3\bigr)=\log(100)+\log(x^3)
\log(x^3)=3\log(x)
\log(100)=2
Logo,
g(x)=3\log(x)+2=3\,f(x)+2

Passo 3

A expressão 3\,f(x) significa que a cada y=f(x) original nós levamos ao ponto (x,3y). Graficamente, isso é um alongamento vertical do gráfico de f por fator 3, porque multiplicar pela constante 3 faz os valores de y ficarem três vezes maiores.

Passo 4

Em seguida, o “ +2” em 3\,f(x)+2 pega cada ponto (x,3f(x)) e o eleva duas unidades no eixo y, resultando em um deslocamento vertical para cima de 2.

Resposta

O gráfico de g é obtido esticando o gráfico de f verticalmente por fator 3 e depois deslocando-o 2 unidades para cima.

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