64 Suponha f(x)=\log _{6} x e g(x)=\log _{6} \frac{36}{x}. Explique por que o gráfico de g pode ser obtido pela reflexão do gráfico de f sobre o eixo horizontal e depois por seu deslocamento 2 unidades para cima.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
\;f(x)=\log_{6}x
e
\;g(x)=\log_{6}\frac{36}{x}.
Queremos mostrar que o gráfico de g se obtém refletindo o gráfico de f no eixo horizontal e, em seguida, deslocando-o 2 unidades para cima. Para isso usaremos propriedades de logaritmos e transformações de gráficos.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do logaritmo de quociente em
\;g(x)=\log_{6}\frac{36}{x}:
g(x)=\log_{6}36 \;-\;\log_{6}x.
Como \log_{6}36=\log_{6}(6^2)=2, fica
g(x)=2-\log_{6}x.

Passo 3

Reconhecemos que \log_{6}x=f(x). Logo
g(x)=2 - f(x).
A parte -f(x) corresponde à reflexão do gráfico de f em relação ao eixo horizontal, pois trocar o sinal da saída inverte todas as ordenadas.

Passo 4

A adição de 2 em 2 - f(x) representa um deslocamento vertical de 2 unidades para cima. Ou seja, depois de refletir f no eixo horizontal (obtendo -f(x)), basta elevar todas as alturas em 2 para chegar ao gráfico de g.

Resposta

O gráfico de g obtém-se refletindo o de f no eixo horizontal (transformação y\mapsto -y) e, em seguida, deslocando-o 2 unidades para cima (transformação y\mapsto y+2).

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