8 Suponha que
seja uma função e
seja uma função linear não constante. Explique por que a imagem de
é a mesma que a imagem de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma função qualquer e
é uma função linear não constante. Como
é linear não constante, podemos escrevê-la como
e sabemos que tal
é sobrejetora de
em
. Queremos mostrar que
Para isso usaremos a definição de imagem de uma função e a surjetividade de
.
Passo 2
Mostramos primeiro
.
Seja . Então existe
tal que
Seja
Defina
. Como
está no domínio de
e
, segue que
. Logo
Passo 3
Agora mostramos
.
Seja . Então existe
no domínio de
tal que
Seja
Como
com
é sobrejetora, existe
satisfazendo
. Dessa forma
ou seja,
. Assim
Passo 4
Juntando as duas inclusões, concluímos
Resposta
A imagem de
é igual à imagem de
porque
, sendo linear não constante, é sobrejetora e, portanto, cada valor de saída de
aparece também em
, e vice-versa.