8 Suponha que f seja uma função e g seja uma função linear não constante. Explique por que a imagem de f \circ g é a mesma que a imagem de f.

Passo 1

O enunciado afirma que f é uma função qualquer e g é uma função linear não constante. Como g é linear não constante, podemos escrevê-la como
g(x)=a x+b,\quad a\neq0,
e sabemos que tal g é sobrejetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}. Queremos mostrar que
\operatorname{Im}(f\circ g)=\operatorname{Im}(f).
Para isso usaremos a definição de imagem de uma função e a surjetividade de g.

Passo 2

Mostramos primeiro \operatorname{Im}(f\circ g)\subseteq\operatorname{Im}(f).
Seja y\in\operatorname{Im}(f\circ g). Então existe x tal que
y=(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Defina t=g(x). Como t está no domínio de f e f(t)=y, segue que y\in\operatorname{Im}(f). Logo
\operatorname{Im}(f\circ g)\subseteq\operatorname{Im}(f).

Passo 3

Agora mostramos \operatorname{Im}(f)\subseteq\operatorname{Im}(f\circ g).
Seja y\in\operatorname{Im}(f). Então existe t no domínio de f tal que
f(t)=y.
Como g(x)=ax+b com a\neq0 é sobrejetora, existe x satisfazendo g(x)=t. Dessa forma
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(t)=y,
ou seja, y\in\operatorname{Im}(f\circ g). Assim
\operatorname{Im}(f)\subseteq\operatorname{Im}(f\circ g).

Passo 4

Juntando as duas inclusões, concluímos
\operatorname{Im}(f\circ g)=\operatorname{Im}(f).

Resposta

A imagem de f\circ g é igual à imagem de f porque g, sendo linear não constante, é sobrejetora e, portanto, cada valor de saída de f aparece também em f\circ g, e vice-versa.

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