Suponha que A seja um subconjunto de V^{*}, em que V é um alfabeto. Demonstre ou mostre que não é válida cada uma destas afirmações. \left(A^{*}\right)^{*}=A^{*}
Passo 1
O enunciado diz que A\subseteq V^* é uma linguagem sobre o alfabeto V. A tarefa é mostrar que a operação de Kleene star é idempotente, ou seja,
\bigl(A^*\bigr)^* \;=\; A^*.
Para isso, vamos usar a definição de estrela de Kleene como união de potências e as propriedades de fechamento de concatenção.
Passo 2
Lembremos a definição de estrela de Kleene para qualquer linguagem L:
L^* \;=\;\bigcup_{n=0}^{\infty} L^n,
onde
L^0 = \{\varepsilon\}, \quad L^{n+1} = L^n \cdot L
e “\cdot” é a operação de concatenação de linguagens. Em particular,