3.3.5 Suponha que a Terra se mova (seja rotacionada) de modo que o pólo norte passe para a posição 30^{\circ} norte, 20^{\circ} oeste (sistema original de latitude e longitude) e que o meridiano 10^{\circ} aponte para a direção sul.
(a) Quais são os ângulos de Euler que descrevem essa rotação?
(b) Ache os co-senos direcionais correspondentes.
Passo 1
Vamos rodar o sistema de coordenadas de forma que
O eixo z (pólo norte) seja levado para a posição de latitude 30^\circ N e longitude 20^\circ W, e
O meridiano de 10^\circ W do sistema original fique no plano x'z', ou seja, a sua normal gire até coincidir com o eixo y' do novo sistema (isso garante que o meridiano “aponte” para a direção sul no novo referencial).
O conteúdo que usamos é a rotulação por ângulos de Euler no convênio z\!-\!x\!-\!z:
Para levar o eixo z à posição (30^\circ\text{N},20^\circ\text{W}) usamos
uma rotação em torno de z de ângulo \alpha=-20^\circ (para que a longitude 20^\circ W fique sobre o meridiano zero),
seguida de uma rotação em torno do eixo x de ângulo \beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ (pra inclinar o pólo norte até essa latitude).
Ou seja, até aqui temos
R_0=R_x(60^\circ)\,R_z(-20^\circ).
Passo 3
Agora precisamos escolher \gamma (rotação final em torno de z') de modo que o plano do meridiano 10^\circ W do sistema original seja levado ao plano x'z' (cuja normal é y').
A normal ao plano do meridiano 10^\circ W, em coordenadas originais, é