3.3.5 Suponha que a Terra se mova (seja rotacionada) de modo que o pólo norte passe para a posição 30^{\circ} norte, 20^{\circ} oeste (sistema original de latitude e longitude) e que o meridiano 10^{\circ} aponte para a direção sul.
(a) Quais são os ângulos de Euler que descrevem essa rotação?
(b) Ache os co-senos direcionais correspondentes.

Passo 1

Vamos rodar o sistema de coordenadas de forma que
  1. O eixo z (pólo norte) seja levado para a posição de latitude 30^\circ N e longitude 20^\circ W, e
  2. O meridiano de 10^\circ W do sistema original fique no plano x'z', ou seja, a sua normal gire até coincidir com o eixo y' do novo sistema (isso garante que o meridiano “aponte” para a direção sul no novo referencial).
    O conteúdo que usamos é a rotulação por ângulos de Euler no convênio z\!-\!x\!-\!z:
R(\alpha,\beta,\gamma)=R_z(\gamma)\,R_x(\beta)\,R_z(\alpha),
onde
R_z(\varphi)=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\,\sin\varphi&0\\sin\varphi&\cos\varphi&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},\quad R_x(\theta)=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&\cos\theta&-\,\sin\theta\\\ 0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.

Passo 2

Para levar o eixo z à posição (30^\circ\text{N},20^\circ\text{W}) usamos
  • uma rotação em torno de z de ângulo \alpha=-20^\circ (para que a longitude 20^\circ W fique sobre o meridiano zero),
  • seguida de uma rotação em torno do eixo x de ângulo \beta=90^\circ-30^\circ=60^\circ (pra inclinar o pólo norte até essa latitude).
    Ou seja, até aqui temos
R_0=R_x(60^\circ)\,R_z(-20^\circ).

Passo 3

Agora precisamos escolher \gamma (rotação final em torno de z') de modo que o plano do meridiano 10^\circ W do sistema original seja levado ao plano x'z' (cuja normal é y').
  1. A normal ao plano do meridiano 10^\circ W, em coordenadas originais, é
\mathbf{n} = \bigl(-\sin10^\circ,\;\cos10^\circ,\;0\bigr).
  1. Aplicamos R_0 a \mathbf{n} e depois giramos em torno de z por \gamma; o resultado deve ficar colinear com o eixo y':
R(\alpha,\beta,\gamma)\,\mathbf{n}\;\parallel\;y'\,.
Fazendo as contas (ver análise) obtemos duas soluções para \gamma, e escolhemos a mais simples em valor absoluto:
\gamma\approx21{,}8^\circ.

Passo 4

Logo, os ângulos de Euler que descrevem a rotação pedida são
\boxed{\alpha=-20^\circ,\quad \beta=60^\circ,\quad \gamma=21{,}8^\circ.}

Passo 5

Os cossenos direcionais entre os eixos originais (x,y,z) e os novos (x',y',z') vêm da matriz
R=R_z(\gamma)\,R_x(\beta)\,R_z(\alpha).
Numericamente, para \alpha=-20^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=21{,}8^\circ, encontra-se
R\approx \begin{pmatrix} 0{,}936 & 0{,}143 & 0{,}322\\\\ 0{,}190 & 0{,}563 & -0{,}805\\\\ -0{,}296 & 0{,}814 & 0{,}500 \end{pmatrix}.
Cada entrada R_{ij}=\cos(\text{eixo }i'\,,\;\text{eixo }j) é o cosseno direcional correspondente.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha=-20^\circ,\;\beta=60^\circ,\;\gamma=21{,}8^\circ.
(b) Matriz de cossenos direcionais
\displaystyle R=\begin{pmatrix} 0{,}936 & 0{,}143 & 0{,}322\\\\ 0{,}190 & 0{,}563 & -0{,}805\\\\ -0{,}296 & 0{,}814 & 0{,}500 \end{pmatrix}.

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