3.3.11 Mostre que a propriedade de anti-simetria é invariante sob transformações de similaridade ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é anti-simétrica (isto é,
A^T = -A
) e Q é ortogonal (isto é,
Q^T Q = I
), então a matriz
B = Q^T A Q
também é anti-simétrica, ou seja, satisfaz
B^T = -B.
Para isso vamos usar as propriedades de transposição de produto de matrizes e o fato de (Q^T)^T = Q.

Passo 2

Definindo
B = Q^T A Q,
calculamos a transposta de B usando (MN)^T = N^T M^T:
B^T = (Q^T A Q)^T = Q^T\,A^T\,(Q^T)^T = Q^T\,A^T\,Q.

Passo 3

Como A é anti-simétrica, A^T = -A. Substituindo em
B^T = Q^T\,A^T\,Q
vem
B^T = Q^T\,(-A)\,Q = -\,Q^T A Q = -B.
Logo B^T = -B, ou seja, B é anti-simétrica.

Resposta

A propriedade de anti-simetria é de fato invariante sob transformações de similaridade ortogonais.

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