3.3.11 Mostre que a propriedade de anti-simetria é invariante sob transformações de similaridade ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é anti-simétrica (isto é,
) e
é ortogonal (isto é,
), então a matriz
também é anti-simétrica, ou seja, satisfaz
Para isso vamos usar as propriedades de transposição de produto de matrizes e o fato de
.
Passo 2
Definindo
calculamos a transposta de
usando
:
Passo 3
Como
é anti-simétrica,
. Substituindo em
vem
Logo
, ou seja,
é anti-simétrica.
Resposta
A propriedade de anti-simetria é de fato invariante sob transformações de similaridade ortogonais.