(Tamanho de um tambor) Um tambor pequeno deve ter uma freqüência fundamental mais alta que a de um tambor grande, man-
tidas as mesmas tensões e massas específicas. Como isto aparece em nossas fórmulas?

Passo 1

O enunciado diz que, mantidas a mesma tensão e a mesma massa específica da pele, um tambor menor deve ter frequência fundamental maior que um tambor maior. Isso é um problema de vibração de membrana circular: vamos usar a equação de ondas para membrana e ver como a dimensão (o raio) entra na fórmula das frequências naturais.

Passo 2

A membrana (pele do tambor) sob tensão uniforme T (força por unidade de comprimento) e com massa por unidade de área \sigma obedece à equação de onda bidimensional
\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} = c^2\Bigl(\frac{\partial^2 w}{\partial r^2}+\frac1r\frac{\partial w}{\partial r}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial\theta^2}\Bigr),
com
c=\sqrt{\frac{T}{\sigma}}
sendo a velocidade das ondas na membrana.

Passo 3

Procuramos soluções do tipo w(r,\theta,t)=R(r)\Theta(\theta)\,e^{i\omega t} que satisfaçam a condição de contorno fixa em r=a (raio do tambor):
R(a)=0.
Isso leva à equação de Bessel para R(r), cujas raízes \alpha_{mn} (zeros de J_m) determinam os modos. Os valores próprios de k satisfazem
J_m(\alpha_{mn})=0,
com \alpha_{01}\approx2{,}4048 para o modo fundamental ( m=0,n=1 ).

Passo 4

Cada frequência natural é
f_{mn}=\frac{\omega_{mn}}{2\pi} \quad\text{com}\quad \omega_{mn}=c\,\frac{\alpha_{mn}}{a}.
Logo, em bloco:
f_{mn} =\frac{\alpha_{mn}}{2\pi\,a}\,\sqrt{\frac{T}{\sigma}}.
O modo fundamental é (m,n)=(0,1), então
f_{01} =\frac{\alpha_{01}}{2\pi\,a}\,\sqrt{\frac{T}{\sigma}} \quad\Longrightarrow\quad f_{01}\propto\frac1a.

Passo 5

Como a é o raio do tambor, reduzir a (tornar o tambor menor) faz f_{01} aumentar. Assim um tambor pequeno vibra mais rápido e tem frequência fundamental maior.

Resposta

A frequência fundamental de um tambor circular aparece na fórmula
f_{01}=\frac{\alpha_{01}}{2\pi\,a}\sqrt{\frac{T}{\sigma}}
mostrando claramente a dependência inversa em relação ao raio a. Portanto, quanto menor o tambor, maior será f_{01}.

Exercícios de Livros Relacionados