(Tamanho de um tambor) Um tambor pequeno deve ter uma freqüência fundamental mais alta que a de um tambor grande, man-
tidas as mesmas tensões e massas específicas. Como isto aparece em nossas fórmulas?
tidas as mesmas tensões e massas específicas. Como isto aparece em nossas fórmulas?
Passo 1
O enunciado diz que, mantidas a mesma tensão e a mesma massa específica da pele, um tambor menor deve ter frequência fundamental maior que um tambor maior. Isso é um problema de vibração de membrana circular: vamos usar a equação de ondas para membrana e ver como a dimensão (o raio) entra na fórmula das frequências naturais.
Passo 2
A membrana (pele do tambor) sob tensão uniforme
(força por unidade de comprimento) e com massa por unidade de área
obedece à equação de onda bidimensional
com
sendo a velocidade das ondas na membrana.
Passo 3
Procuramos soluções do tipo
que satisfaçam a condição de contorno fixa em
(raio do tambor):
Isso leva à equação de Bessel para
, cujas raízes
(zeros de
) determinam os modos. Os valores próprios de
satisfazem
com
para o modo fundamental (
).
Passo 4
Cada frequência natural é
Logo, em bloco:
O modo fundamental é
, então
Passo 5
Como
é o raio do tambor, reduzir
(tornar o tambor menor) faz
aumentar. Assim um tambor pequeno vibra mais rápido e tem frequência fundamental maior.
Resposta
A frequência fundamental de um tambor circular aparece na fórmula
mostrando claramente a dependência inversa em relação ao raio
. Portanto, quanto menor o tambor, maior será
.