Um tanque hemisférico de diâmetro 20 pés esta cheio de gasolina pesando 60 libras por pé cúbico. A gasolina é alçada a 10 pés acima do bordo do tanque por uma bomba de \frac{1}{2} H.P. (isto é, a bomba pode fazer um trabalho de 16500 libras por pé num minuto). Quanto tempo levará a bomba para esvasiar o tanque?

Passo 1

O enunciado pede o tempo que uma bomba de meio cavalo‐força (isto é, que fornece 16500 libras-pé por minuto) leva para esvaziar um tanque em forma de hemisfério de diâmetro 20 ft cheio de gasolina com peso específico 60 lb/f t^{3}, bombeando até 10 ft acima do bordo. O que precisamos:
  1. Expressar o trabalho total como integral de cada fatia de líquido.
  2. Dividir esse trabalho pela potência da bomba para obter o tempo.

Passo 2

Escolhemos uma coordenada y vertical medida a partir do fundo do hemisfério ( y=0 no fundo) até o bordo ( y=10 ft). Uma fatia de espessura dy em altura y tem raio \sqrt{10^2 - y^2}, logo seu volume é
dV = \pi\bigl(10^2 - y^2\bigr)\,dy = \pi(100 - y^2)\,dy.

Passo 3

O peso dessa fatia é
dW = \bigl(\text{peso específico}\bigr)\times dV = 60\;\pi(100 - y^2)\,dy\quad\text{(libras)}.í

Passo 4

Cada fatia precisa ser elevada até 10 ft acima do bordo, logo de y até 10 + 10 = 20 ft acima do fundo. A altura de bombeamento é
h(y) = 20 - y.
Assim o trabalho para erguer a fatia é
dU = dW \times h(y) = 60\,\pi(100 - y^2)\,(20 - y)\,dy.

Passo 5

O trabalho total é a integral de dU de y=0 a y=10:
U = 60\pi \int_{0}^{10} (100 - y^2)(20 - y)\,dy.
Expandindo o integrando:
(100 - y^2)(20 - y) = 2000 -100y -20y^2 + y^3.

Passo 6

Calculamos a integral:
\int_{0}^{10} (2000 -100y -20y^2 + y^3)\,dy = \Bigl[2000y -50y^2 -\tfrac{20}{3}y^3 + \tfrac{1}{4}y^4\Bigr]_{0}^{10} = \frac{32500}{3}.
Portanto
U = 60\pi \cdot \frac{32500}{3} = 650000\,\pi\quad\text{libras-pé}.é

Passo 7

A bomba fornece 16500 libras-pé por minuto, então o tempo é
t = \frac{U}{\text{potência}} = \frac{650000\,\pi}{16500} = \frac{1300\pi}{33} \approx 123{,}7\;\text{min}.ê

Resposta

Levará aproximadamente 124 minutos (cerca de 2{,}06 horas).

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