Um tanque hemisférico de diâmetro 20 pés esta cheio de gasolina pesando 60 libras por pé cúbico. A gasolina é alçada a 10 pés acima do bordo do tanque por uma bomba de
H.P. (isto é, a bomba pode fazer um trabalho de 16500 libras por pé num minuto). Quanto tempo levará a bomba para esvasiar o tanque?
Passo 1
O enunciado pede o tempo que uma bomba de meio cavalo‐força (isto é, que fornece
libras-pé por minuto) leva para esvaziar um tanque em forma de hemisfério de diâmetro
ft cheio de gasolina com peso específico
lb/f
, bombeando até
ft acima do bordo. O que precisamos:
- Expressar o trabalho total como integral de cada fatia de líquido.
- Dividir esse trabalho pela potência da bomba para obter o tempo.
Passo 2
Escolhemos uma coordenada
vertical medida a partir do fundo do hemisfério (
no fundo) até o bordo (
ft). Uma fatia de espessura
em altura
tem raio
, logo seu volume é
Passo 3
O peso dessa fatia é
Passo 4
Cada fatia precisa ser elevada até
ft acima do bordo, logo de
até
ft acima do fundo. A altura de bombeamento é
Assim o trabalho para erguer a fatia é
Passo 5
O trabalho total é a integral de
de
a
:
Expandindo o integrando:
Passo 6
Calculamos a integral:
Portanto
Passo 7
A bomba fornece
libras-pé por minuto, então o tempo é
Resposta
Levará aproximadamente
minutos (cerca de
horas).