Um tanque é hemisférico na parte inferior e cilíndrico na parte superior. A altura do cilindro é 10 pés, os diâmetros tanto do cilindro como da esfera medem 24 pés. Achar o trabalho realizado para tirar a água do tanque, sabendo que o nível superior desta esta a dois pés do bordo do tanque.
Passo 1
O tanque tem parte hemisférica de raio
ft na base e parte cilíndrica de raio
ft e altura
ft no topo. O nível da água está a
ft do bordo, ou seja, a uma altura total de
ft acima do fundo. Para bombeá-la para o bordo (
ft), vamos usar coordenada
a partir do fundo e a densidade
lb/ft
.
Passo 2
O trabalho é dado por
onde
é a área da seção horizontal no nível
, e
é a distância que cada fatia de espessura
deve ser elevada.
Passo 3
Para
(parte hemisférica) temos
Definimos
Passo 4
Expandindo o integrando de
:
Logo,
Passo 5
Para
(parte cilíndrica) a área é constante
. Assim
Passo 6
Somando as duas parcelas e multiplicando pela densidade: