Um tanque é hemisférico na parte inferior e cilíndrico na parte superior. A altura do cilindro é 10 pés, os diâmetros tanto do cilindro como da esfera medem 24 pés. Achar o trabalho realizado para tirar a água do tanque, sabendo que o nível superior desta esta a dois pés do bordo do tanque.

Passo 1

O tanque tem parte hemisférica de raio R=12 ft na base e parte cilíndrica de raio 12 ft e altura 10 ft no topo. O nível da água está a 2 ft do bordo, ou seja, a uma altura total de 22-2=20 ft acima do fundo. Para bombeá-la para o bordo ( y=22 ft), vamos usar coordenada y a partir do fundo e a densidade \rho=62{,}5 lb/ft ^3.

Passo 2

O trabalho é dado por
W = \rho \int_{y=0}^{y=20} A(y)\,\bigl(22 - y\bigr)\,dy,
onde A(y) é a área da seção horizontal no nível y, e 22-y é a distância que cada fatia de espessura dy deve ser elevada.

Passo 3

Para 0\le y\le12 (parte hemisférica) temos
\text{raio da fatia} = \sqrt{R^2 - (R - y)^2} =\sqrt{144 - (12 - y)^2},
A(y)=\pi\bigl(144 - (12 - y)^2\bigr).
Definimos
I_1 = \int_{0}^{12} \pi\bigl(144 - (12 - y)^2\bigr)\,(22 - y)\,dy.

Passo 4

Expandindo o integrando de I_1:
(144 - (12-y)^2)(22-y) = y^3 - 46y^2 + 528y.
Logo,
I_1 =\pi\int_{0}^{12}\bigl(y^3 - 46y^2 + 528y\bigr)\,dy =\pi\Bigl[\tfrac{y^4}{4} - \tfrac{46y^3}{3} + 264y^2\Bigr]_0^{12} =\pi\cdot16704.

Passo 5

Para 12\le y\le20 (parte cilíndrica) a área é constante A(y)=\pi\cdot144. Assim
I_2 = \int_{12}^{20}\pi\cdot144\,(22 - y)\,dy =\pi\cdot144\int_{12}^{20}(22 - y)\,dy =\pi\cdot6912.

Passo 6

Somando as duas parcelas e multiplicando pela densidade:
W = 62{,}5\,(I_1 + I_2) =62{,}5\,\pi\,(16704 + 6912) =62{,}5\,\pi\cdot23616 =1476000\,\pi\\ \text{ft\cdotlb}.

Resposta

W = 1476000\,\pi f t\cdot lb

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