Um reservatório cônico de 12 pés de profundidade esta cheio de um líquido que pesa 80 libras por pé cúbico. O bordo do reservatório é um círculo de 8 pés de diâmetro. Calcular o trabalho necessário para alçar o líquido ao bordo do reservatório.
Resp. 15360 \pi libras por pé.

Passo 1

O enunciado dá um reservatório em forma de cone com profundidade 12 pés e diâmetro na boca igual a 8 pés, cheio de um líquido de densidade 80 libras por pé cúbico. Precisamos calcular o trabalho para elevar todo o líquido até o bordo, usando a ideia de fatias horizontais e integração.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y com origem no vértice do cone (fundo) e y variando de 0 a 12. A cada altura y, o raio do cone é proporcional a y, pois no topo y=12 o raio é 4. Logo,
r(y)=\frac{4}{12}\,y=\frac{y}{3}.

Passo 3

Uma fatia horizontal de espessura \mathrm{d}y em y tem volume
\mathrm{d}V = \pi\bigl[r(y)\bigr]^2\,\mathrm{d}y = \pi\,\frac{y^2}{9}\,\mathrm{d}y.
Seu peso é
\mathrm{d}F = 80\,\mathrm{d}V = 80\pi\,\frac{y^2}{9}\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Essa fatia precisa ser elevada até o bordo, ou seja, por uma distância 12 - y. O trabalho para erguer essa fatia é
\mathrm{d}W = \bigl(\mathrm{d}F\bigr)\,(12-y) = 80\pi\,\frac{y^2}{9}\,(12-y)\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Somando todas as fatias de y=0 a y=12, o trabalho total é
W = \int_{0}^{12}80\pi\,\frac{y^2}{9}\,(12-y)\,\mathrm{d}y = \frac{80\pi}{9}\int_{0}^{12}\bigl(12y^2 - y^3\bigr)\,\mathrm{d}y.
Calculando a integral:
\int_{0}^{12}(12y^2 - y^3)\,\mathrm{d}y =\Bigl[4y^3 - \tfrac{y^4}{4}\Bigr]_{0}^{12} =4\cdot12^3 - \tfrac{12^4}{4} =6912 - 5184 =1728.

Passo 6

Portanto
W = \frac{80\pi}{9}\times 1728 = 80\cdot192\,\pi = 15360\pi.

Resposta

15360\pi libras-pé.

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