Um reservatório cônico de 12 pés de profundidade esta cheio de um líquido que pesa 80 libras por pé cúbico. O bordo do reservatório é um círculo de 8 pés de diâmetro. Calcular o trabalho necessário para alçar o líquido ao bordo do reservatório.
Resp.
libras por pé.
Passo 1
O enunciado dá um reservatório em forma de cone com profundidade
pés e diâmetro na boca igual a
pés, cheio de um líquido de densidade
libras por pé cúbico. Precisamos calcular o trabalho para elevar todo o líquido até o bordo, usando a ideia de fatias horizontais e integração.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical
com origem no vértice do cone (fundo) e
variando de
a
. A cada altura
, o raio do cone é proporcional a
, pois no topo
o raio é
. Logo,
Passo 3
Uma fatia horizontal de espessura
em
tem volume
Seu peso é
Passo 4
Essa fatia precisa ser elevada até o bordo, ou seja, por uma distância
. O trabalho para erguer essa fatia é
Passo 5
Somando todas as fatias de
a
, o trabalho total é
Calculando a integral:
Passo 6
Portanto