(UF-ES) Uma tartaruga se desloca em linha reta, sempre no mesmo sentido. Inicialmente, ela percorre 2 metros em 1 minuto e, a cada minuto seguinte, ela percorre 45 da distância percorrida no minuto anterior.
a) Calcule a distância percorrida pela tartaruga após 3 minutos.
b) Determine uma expressão para a distância percorrida pela tartaruga após um número inteiro n de minutos.
c) A tartaruga chega a percorrer 10 metros? Justifique a sua resposta.
d) Determine o menor valor inteiro de n tal que, após n minutos, a tartaruga terá percorrido uma distância superior a 9 metros. [Se necessário, use log 2 approx 0,30].

Passo 1

O enunciado descreve uma tartaruga que, a cada minuto, percorre uma distância que forma uma progressão geométrica de primeiro termo ,a1=2 metros e razão ,r=tfrac45. Precisaremos da soma dos primeiros n termos de uma PG, cuja fórmula é
Sn = a1:1-r^n1-r

Passo 2

Para a distância após 3 minutos, basta calcular S3 com a1=2 e r=tfrac45:
S3 = 2;1-l(tfrac45r)^31-tfrac45 = 2;1-tfrac64125tfrac15 =2;tfrac61125tfrac15 =2cdottfrac61125cdot5 =tfrac12225approx4,88 m

Passo 3

Substituindo na fórmula geral, a distância após um número inteiro n de minutos é
Sn =2;1-l(tfrac45r)^n1-tfrac45 =10l(1-l(tfrac45r)^nr)

Passo 4

Como l(tfrac45r)^nto0 quando ntoinfty, o limite da soma é
limntoinftySn =10l(1-0r)=10 m
Portanto, para todo n finito vale Sn<10, isto é, a tartaruga nunca chega a percorrer exatamente 10 metros.

Passo 5

Queremos o menor ninN tal que Sn>9. Da expressão de Sn:
10l(1-l(tfrac45r)^nr)>9 Longrightarrow 1-l(tfrac45r)^n>0,9 Longrightarrow l(tfrac45r)^n<0,1
Tomando logaritmo decimal e usando log102approx0,30:
n;log10!l(tfrac45r)<log10(0,1)=-1, log10!l(tfrac45r) =log104-log105 =2cdot0,30-(1-0,30)=-0,10,
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n>-1-0,10=10
O menor inteiro que atende é n=11.

Resposta

a) tfrac12225 m (aprox. 4,88 m).
b) Sn=10l(1-(tfrac45)^nr).
c) Não; limntoinftySn=10 e para todo n finito Sn<10.
d) n=11.

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