(UF-ES) Uma tartaruga se desloca em linha reta, sempre no mesmo sentido. Inicialmente, ela percorre 2 metros em 1 minuto e, a cada minuto seguinte, ela percorre
da distância percorrida no minuto anterior.
a) Calcule a distância percorrida pela tartaruga após 3 minutos.
b) Determine uma expressão para a distância percorrida pela tartaruga após um número inteiro
de minutos.
c) A tartaruga chega a percorrer 10 metros? Justifique a sua resposta.
d) Determine o menor valor inteiro de
tal que, após
minutos, a tartaruga terá percorrido uma distância superior a 9 metros. [Se necessário, use log
].
a) Calcule a distância percorrida pela tartaruga após 3 minutos.
b) Determine uma expressão para a distância percorrida pela tartaruga após um número inteiro
c) A tartaruga chega a percorrer 10 metros? Justifique a sua resposta.
d) Determine o menor valor inteiro de
Passo 1
O enunciado descreve uma tartaruga que, a cada minuto, percorre uma distância que forma uma progressão geométrica de primeiro termo
metros e razão
. Precisaremos da soma dos primeiros
termos de uma PG, cuja fórmula é
Passo 2
Para a distância após 3 minutos, basta calcular
com
e
:
Passo 3
Substituindo na fórmula geral, a distância após um número inteiro
de minutos é
Passo 4
Como
quando
, o limite da soma é
Portanto, para todo
finito vale
, isto é, a tartaruga nunca chega a percorrer exatamente 10 metros.
Passo 5
Queremos o menor
tal que
. Da expressão de
:
Tomando logaritmo decimal e usando
:
logo
O menor inteiro que atende é
.
Resposta
a)
m (aprox.
m).
b) .
c) Não; e para todo
finito
.
d) .
b)
c) Não;
d)