(UF-PR) Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2 M=[lla & b 0 & c] considere as seguintes afirmativas a respeito de M :
  1. A matriz M é invertível.
  2. Denotando a matriz transposta de M por M^top, teremos det(M cdot M^top)>0.
  3. Quando a=1 e c=-1, tem-se M^2=I, sendo I a matriz identidade de ordem 2 .
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2
M = a & b[6pt]0 & c,
com a,b,cneq0, e pede para analisar ( 1) invertibilidade de M, ( 2) o sinal de det(M,M^top) e ( 3) se para a=1 e c=-1 vale M^2 = I. Para isso vamos usar:
– teste de invertibilidade via determinante;
– propriedades de determinante de produto e transposição;
– cálculo direto de potência de matriz.]

Passo 2

Para verificar se M é invertível, calculamos o determinante de M.
det(M) = acdot c - bcdot0 = a,c
Como aneq0 e cneq0, temos det(M)=a,cneq0. Logo M é invertível.

Passo 3

Vamos calcular . Primeiro
Seu determinante é
Como e , segue .]

Passo 4

Agora tomamos a=1 e c=-1. Então
M = 1 & b[4pt]0 & -1
Calculamos
M^2 = 1 & b0 & -1 1 & b0 & -1 = 1cdot1 + bcdot0 & 1cdot b + bcdot(-1)[4pt] 0cdot1 +(-1)cdot0 & 0cdot b +(-1)cdot(-1) = 1 & 0[4pt]0 & 1 = I
Logo para a=1 e c=-1 realmente M^2=I.]

Resposta

e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

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