(UF-PR) Dados os números reais e diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem considere as seguintes afirmativas a respeito de M :
A matriz M é invertível.
Denotando a matriz transposta de M por M^top, teremos det(M cdot M^top)>0.
Quando a=1 e c=-1, tem-se M^2=I, sendo I a matriz identidade de ordem 2 .
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2
M = a & b[6pt]0 & c,
com a,b,cneq0, e pede para analisar (1) invertibilidade de M, (2) o sinal de det(M,M^top) e (3) se para a=1 e c=-1 vale M^2 = I. Para isso vamos usar:
– teste de invertibilidade via determinante;
– propriedades de determinante de produto e transposição;
– cálculo direto de potência de matriz.]
Passo 2
Para verificar se M é invertível, calculamos o determinante de M.
det(M) = acdot c - bcdot0 = a,c
Como aneq0 e cneq0, temos det(M)=a,cneq0. Logo M é invertível.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 214