Temos
meninos e
meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de modo que os meninos e as meninas se alternem?
Sugestão: Suponha m = 3 e forme primeiro a roda só com meninos. Depois que o leitor “sentir” o problema para
, deve resolver para
qualquer.
Sugestão: Suponha m = 3 e forme primeiro a roda só com meninos. Depois que o leitor “sentir” o problema para
Passo 1
O enunciado pede o número de modos de dispor
meninos e
meninas em uma roda, de forma que as duas categorias se alternem. Vamos usar permutações circulares e a ideia de “fixar” primeiro um gênero e depois inserir o outro nos espaços deixados.
Passo 2
Para “sentir” o caso, tome
. Primeiro, disponha os 3 meninos em roda. O número de permutações circulares de 3 elementos é
Passo 3
Com os meninos fixos, há exatamente 3 espaços entre eles para acomodar as 3 meninas de modo alternado. O número de maneiras de permutar as 3 meninas nesses 3 lugares é
Logo, para
o total é
Passo 4
Agora generalize para qualquer
. O número de arranjos circulares dos
meninos é
Passo 5
Depois de fixar os meninos, há
espaços para inserir as meninas alternadamente, o que pode ser feito de
maneiras.
Passo 6
Pela regra do produto, o total de arranjos alternados é