Temos m meninos e m meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de modo que os meninos e as meninas se alternem?
Sugestão: Suponha m = 3 e forme primeiro a roda só com meninos. Depois que o leitor “sentir” o problema para m=3, deve resolver para m qualquer.

Passo 1

O enunciado pede o número de modos de dispor m meninos e m meninas em uma roda, de forma que as duas categorias se alternem. Vamos usar permutações circulares e a ideia de “fixar” primeiro um gênero e depois inserir o outro nos espaços deixados.

Passo 2

Para “sentir” o caso, tome m=3. Primeiro, disponha os 3 meninos em roda. O número de permutações circulares de 3 elementos é
(3-1)! = 2

Passo 3

Com os meninos fixos, há exatamente 3 espaços entre eles para acomodar as 3 meninas de modo alternado. O número de maneiras de permutar as 3 meninas nesses 3 lugares é
3! = 6
Logo, para m=3 o total é
2 times 6 = 12

Passo 4

Agora generalize para qualquer m. O número de arranjos circulares dos m meninos é
(m-1)!

Passo 5

Depois de fixar os meninos, há m espaços para inserir as meninas alternadamente, o que pode ser feito de
m!
maneiras.

Passo 6

Pela regra do produto, o total de arranjos alternados é
(m-1)!,cdot,m!

Resposta

(m-1)!cdot m!

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