Se a concentração de um certo contaminante numa lagoa tem uma distribuição de probabilidade uniforme em partes por milhão. Se considera tóxica na concentração de 8 ou mais partes por milhão, pergunta-se:
(a) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja tóxica?
(b) Qual é a esperança e a variância?
(c) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja exatamente 10.
Passo 1
O enunciado diz que a concentração de um contaminante na lagoa tem distribuição uniforme em ppm. Chamamos de tóxica a concentração de ppm ou mais. Para resolver precisamos usar as propriedades da distribuição uniforme contínua: a densidade, o cálculo de probabilidades por área sob a densidade, e as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
A densidade de é
Logo, a probabilidade de concentração tóxica é
P(X>=8) =integral8^20120,dx =20-820 =1220 =35
Passo 3
Para a distribuição uniforme em [a,b] valem as fórmulas
E(X)=a+b2, Var(X)=(b-a)^212
Aqui a=0 e b=20, então
E(X)=0+202=10, Var(X)=(20-0)^212 =40012 =1003
Passo 4
Num modelo contínuo a probabilidade de um valor exato é zero, pois é a área de um ponto. Assim,
P(X=10)=0
Resposta
(a) tfrac35
(b) E(X)=10, Var(X)=tfrac1003
(c) 0
Cálculo - Maurício A. Vilches - Cálculo para Economia e Administração - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 13.6 - Ex. 5