Se a concentração de um certo contaminante numa lagoa tem uma distribuição de probabilidade uniforme em [0,20] partes por milhão. Se considera tóxica na concentração de 8 ou mais partes por milhão, pergunta-se:
(a) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja tóxica?
(b) Qual é a esperança e a variância?
(c) Qual é a probabilidade de coletar uma amostra em que a concentração seja exatamente 10.

Passo 1

O enunciado diz que a concentração X de um contaminante na lagoa tem distribuição uniforme em [0,20] ppm. Chamamos de tóxica a concentração de 8 ppm ou mais. Para resolver precisamos usar as propriedades da distribuição uniforme contínua: a densidade, o cálculo de probabilidades por área sob a densidade, e as fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

A densidade de X é
fX(x)= dfrac120-0=dfrac120,&0<= x<=20, 0,&caso contrário á
Logo, a probabilidade de concentração tóxica é
P(X>=8) =integral8^20120,dx =20-820 =1220 =35

Passo 3

Para a distribuição uniforme em [a,b] valem as fórmulas
E(X)=a+b2, Var(X)=(b-a)^212
Aqui a=0 e b=20, então
E(X)=0+202=10, Var(X)=(20-0)^212 =40012 =1003

Passo 4

Num modelo contínuo a probabilidade de um valor exato é zero, pois é a área de um ponto. Assim,
P(X=10)=0

Resposta

(a) tfrac35
(b) E(X)=10, Var(X)=tfrac1003
(c) 0

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