Teresa aplicou 30 % de seu capital, durante um ano, a juros simples e à taxa de 2,5 % a.m. O restante foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,5% a.m., também por um ano. Qual foi a taxa de rendimento anual auferida na aplicação como um todo em relação ao capital inicial?

Passo 1

O enunciado diz que o capital inicial C foi dividido em duas partes:
30% de C aplicado a juros simples à taxa de 2,5% ao mês por 12 meses.
– O restante, isto é 70% de C, aplicado a juros compostos à taxa de 1,5% ao mês por 12 meses.
Vamos usar a fórmula de juros simples
I = P , r , t
e a de juros compostos
A = P (1 + r)^n
para achar os montantes e depois calcular a taxa anual efetiva total.

Passo 2

Para a parte de juros simples:
O principal é
P1 = 0,30 , C,
a taxa mensal é r1=0,025 e o tempo é t=12 meses.
O juro obtido é
I1 = P1,r1,t = 0,30,C times 0,025 times 12 = 0,09,C
O montante final desta aplicação é
A1 = P1 + I1 = 0,30,C + 0,09,C = 0,39,C

Passo 3

Para a parte de juros compostos:
O principal é
P2 = 0,70,C,
a taxa mensal é r2=0,015 e o número de períodos é n=12.
O montante é
A2 = P2 ,(1 + r2)^12 = 0,70,C ,(1,015)^12
Calculando aproximadamente (1,015)^12approx1,1956, temos
A2approx0,70,C times 1,1956 = 0,8369,C

Passo 4

O montante total ao final de um ano é
A = A1 + A2 approx 0,39,C + 0,8369,C = 1,2269,C
A taxa de rendimento anual efetiva i satisfaz
1 + i = AC approx 1,2269 Longrightarrow i approx 0,2269 = 22,69%

Resposta

A taxa de rendimento anual auferida foi aproximadamente 22,7%.

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