Um capital C é aplicado a uma taxa mensal de juros i durante n meses. Para que valores de no montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos?

Passo 1

O enunciado pergunta: dado um capital C>0 aplicado à taxa mensal i durante n meses, para quais valores de n o montante a juros simples
Msimp<=s = Cl(1 + n,ir)
é maior que o montante a juros compostos
Mcompostos = Cl(1 + ir)^n,?
O conteúdo aqui é comparar os dois tipos de montante usando inequação e aproveitar a desigualdade de Bernoulli.

Passo 2

Escrevemos a desigualdade que queremos satisfazer:
Cl(1 + n,ir) > Cl(1 + ir)^n
Como C>0, podemos dividir por C sem alterar o sentido da desigualdade, obtendo
1 + n,i > l(1 + ir)^n

Passo 3

Para analisar essa inequação usamos a desigualdade de Bernoulli generalizada: se r>-1 então
  • para n>=1 inteiro ou real, ,(1+r)^n>=1+n,r, com igualdade apenas em n=0 ou r=0;
  • para 0<n<1 real, ,(1+r)^n<=1+n,r, com desigualdade estrita se rneq0 e nneq0,1.

Passo 4

No nosso caso r=i e normalmente consideramos i>0.
Se n>=1 então
(1+i)^n>=1+n,i
logo
1 + n,i <= (1+i)^n,
isto é, o montante simples não supera o composto (só empata em n=1).

Passo 5

Se 0<n<1 então, pela segunda parte de Bernoulli,
(1+i)^n<=1+n,i
com desigualdade estrita quando i>0 e nneq0,1. Logo
1 + n,i > (1+i)^n,
ou seja, o montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos.

Passo 6

Concluímos que, para i>0, a condição
Cl(1 + n,ir) > Cl(1 + ir)^n
só se verifica quando
0 < n < 1
Nos casos n=0 ou n=1 há igualdade, e para n>1 o composto é sempre maior.

Resposta

O montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos exatamente para
0 < n < 1
Se n for número inteiro de meses, não existe n>=1 que torne o simples maior (empate em n=1 e composto maior para n>=2).

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