Um capital C é aplicado a uma taxa mensal de juros
durante
meses. Para que valores de no montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos?
Passo 1
O enunciado pergunta: dado um capital
aplicado à taxa mensal
durante
meses, para quais valores de
o montante a juros simples
é maior que o montante a juros compostos
O conteúdo aqui é comparar os dois tipos de montante usando inequação e aproveitar a desigualdade de Bernoulli.
Passo 2
Escrevemos a desigualdade que queremos satisfazer:
Como
, podemos dividir por
sem alterar o sentido da desigualdade, obtendo
Passo 3
Para analisar essa inequação usamos a desigualdade de Bernoulli generalizada: se
então
- para
inteiro ou real, , com igualdade apenas em ou ; - para
real, , com desigualdade estrita se e .
Passo 4
No nosso caso
e normalmente consideramos
.
Se então
Se
logo
isto é, o montante simples não supera o composto (só empata em
).
Passo 5
Se
então, pela segunda parte de Bernoulli,
com desigualdade estrita quando
e
. Logo
ou seja, o montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos.
Passo 6
Concluímos que, para
, a condição
só se verifica quando
Nos casos
ou
há igualdade, e para
o composto é sempre maior.
Resposta
O montante a juros simples é maior que o montante a juros compostos exatamente para
Se
for número inteiro de meses, não existe
que torne o simples maior (empate em
e composto maior para
).