Se ( a, b, c ) é um terno pitagórico, prove que 3 Xa ou 3 nmid b.
Resoluçāo: Vamos supor que 3 Xa e 3 nmid b. Então: (a=3 t+1 ou a=3 t+2) e (b=3 r+1 ou b=3 r+2). Supondo, por exemplo, a=3 t+2 e b=3 r+1, então a^2+b^2=(3 t+2)^2+(3 r+1)^2=3 q+2, onde q=3 t^2+3 r^2+4 t+2 r+1. Assim, teríamos que ter c^2=3 q+2. Mas isso não é possível, como se pode verificar para todas as formas possíveis de c: c=3 s, c=3 s+1 ou c=3 s+2. De fato, se por exemplo c=3 s+2, então c^2=9 s^2+12 s+4=3 u+1.
Para os demais casos, o procedimento é o mesmo.

Passo 1

O enunciado diz que (a,b,c) é um terno pitagórico, ou seja, satisfaz
a^2 + b^2 = c^2
e pede para provar que 3mid a ou 3mid b. Vamos usar aritmética modular módulo 3, estudando os possíveis resíduos de quadrados de inteiros em Z/3Z.

Passo 2

Em Z/3Z, todo inteiro n é congruente a 0, 1 ou 2 módulo 3. Calculamos
nequiv 0pmod3;Longrightarrow;n^2equiv 0pmod3,
nequiv 1pmod3;Longrightarrow;n^2equiv 1pmod3,
nequiv 2pmod3;Longrightarrow;n^2equiv 4equiv 1pmod3
Logo, em módulo 3, todo quadrado só pode ser 0 ou 1.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que 3nmid a e 3nmid b. Então
a^2equiv 1pmod3 e b^2equiv 1pmod3
Somando, obtemos
a^2+b^2equiv 1+1equiv 2pmod3,
logo
c^2 = a^2 + b^2 equiv 2pmod3
Mas vimos que nenhum quadrado é congruente a 2 módulo 3, contradição.

Passo 4

Essa contradição mostra que não é possível ter simultaneamente 3nmid a e 3nmid b. Portanto resta que 3mid a ou 3mid b.

Resposta

Como queríamos provar, em todo terno pitagórico (a,b,c) temos
3mid a ou 3mid b

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