Se (
) é um terno pitagórico, prove que 3 Xa ou
.
Resoluçāo: Vamos supor que 3 Xa e
. Então:
ou
e
ou
. Supondo, por exemplo,
, então
, onde
. Assim, teríamos que ter
. Mas isso não é possível, como se pode verificar para todas as formas possíveis de
ou
. De fato, se por exemplo
, então
.
Para os demais casos, o procedimento é o mesmo.
Para os demais casos, o procedimento é o mesmo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um terno pitagórico, ou seja, satisfaz
e pede para provar que
ou
. Vamos usar aritmética modular módulo 3, estudando os possíveis resíduos de quadrados de inteiros em
.
Passo 2
Em
, todo inteiro
é congruente a
,
ou
módulo 3. Calculamos
Logo, em módulo 3, todo quadrado só pode ser
ou
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
e
. Então
Somando, obtemos
logo
Mas vimos que nenhum quadrado é congruente a
módulo 3, contradição.
Passo 4
Essa contradição mostra que não é possível ter simultaneamente
e
. Portanto resta que
ou
.
Resposta
Como queríamos provar, em todo terno pitagórico
temos