Um tetraedro regular é inscrito numa esfera de 12 cm de diâmetro. Qual o volume do tetraedro?

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro regular inscrito numa esfera de diâmetro 12 cm, isto é, raio R=6 cm. Vamos usar duas coisas da geometria do tetraedro regular: a relação entre o raio da esfera circunscrita e a aresta a, e a fórmula do volume em função de a.

Passo 2

Em um tetraedro regular de aresta a, o raio R da esfera circunscrita satisfaz
R = araiz64
Isolando a, temos
a = 4Rraiz6

Passo 3

Substituindo R=6 cm em a = 4Rraiz6:
a = 4cdot6raiz6 = 24raiz6 = 4raiz6 cm

Passo 4

O volume V de um tetraedro regular de aresta a é dado por
V = a^36raiz2
Logo, com a=4raiz6:
V = l(4raiz6r)^36raiz2 = 64cdot6raiz66raiz2 =64cdotraiz6raiz2 =64raiz3

Resposta

O volume do tetraedro é 64raiz3 c m^3.

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