22.30 Se theta está em posição canônica e seu lado final está no quadrante II e sobre a reta x+3 y=0, encontre as funções trigonométricas de theta.

Passo 1

O enunciado diz que theta está em posição canônica cujo lado final fica no quadrante II e sobre a reta x+3y=0. O conteúdo aqui é identificar um ponto (x,y) nesse quadrante que satisfaça a equação da reta e usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo formado pelo raio r.

Passo 2

Para achar um ponto fácil de trabalhar, escolhemos x=-3. Da reta x+3y=0 segue que
-3 + 3y = 0 Longrightarrow y = 1
Como (x,y)=(-3,1) está no quadrante II, esse ponto serve. Agora calculamos o raio
r = raizx^2 + y^2 = raiz(-3)^2 + 1^2 = raiz9+1 = raiz10

Passo 3

Usando sintheta = yr e costheta = xr, temos
sintheta = 1raiz10, costheta = -3raiz10

Passo 4

A tangente e a cotangente vêm de tantheta = yx e cottheta = xy:
tantheta = 1-3 = -tfrac13, cottheta = -31 = -3

Passo 5

As funções recíprocas são
csctheta = 1sintheta = raiz10, sectheta = 1costheta = -raiz103

Resposta

sintheta = 1raiz10, costheta = -3raiz10, tantheta = -tfrac13, csctheta = raiz10, sectheta = -tfracraiz103, cottheta = -3

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