(UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quando colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas.
Sabe-se que uma população inicial de 1000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações:
a) Calcule a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura.
b) Determine a expressão da população P , de bactérias, em função do tempo t em dias.
c) Calcule o tempo necessário para que a população de bactérias se torne 30 vezes a população inicial.
(Em seus cálculos, use log 2=0,3 e log 3=0,47.)

Passo 1

O enunciado trata de bactérias cuja população inicial é 1000 e que permanece constante por 2 dias; a partir do dia 3 a população cresce exponencialmente, dobrando a cada 8 horas. O conteúdo aqui é modelo de crescimento exponencial com tempo de duplicação e uso de logaritmos para encontrar tempo. Vamos precisar:
1. Converter o período de duplicação ( 8 h) em dias ( tfrac824=tfrac13 dia).
2. Montar a função peça-por-peça: estática até t=2 e exponencial depois.
3. Usar a fórmula de crescimento exponencial e propriedades de logaritmo para responder (a), (b) e (c).

Passo 2

Como dobra a cada
Simplificando o expoente (\frac{t-2}{1/3}=3(t-2)], obtemos
]

Passo 3

Para t=6 dias temos 6>2, logo
P(6)=1000cdot 2^3(6-2)=1000cdot 2^12
Como 2^10=1024 e 2^12=4cdot2^10=4096, resulta
P(6)=1000times 4096 = 4,096,000

Passo 4

Queremos P(t)=30times1000. Para t>=2,
1000cdot2^3(t-2)=30000 Longrightarrow 2^3(t-2)=30
Tomando logaritmo decimal,
3(t-2),log 2 = log 30
Sabendo log 2=0,3 e log 30=log(3cdot10)=log3+1=0,47+1=1,47, vem
3(t-2)times0,3 = 1,47 Longrightarrow 3(t-2)=1,470,3=4,9 Longrightarrow t-2=4,93approx1,633
Assim
tapprox 2 + 1,633 = 3,633 dias,
ou seja cerca de 3 dias e 0,633times24approx15,2 horas.

Resposta

(a)
(c) Aproximadamente dias e horas).

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