(UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quando colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas.
Sabe-se que uma população inicial de 1000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações:
a) Calcule a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura.
b) Determine a expressão da população P , de bactérias, em função do tempo
em dias.
c) Calcule o tempo necessário para que a população de bactérias se torne 30 vezes a população inicial.
(Em seus cálculos, use
e log
.)
Sabe-se que uma população inicial de 1000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações:
a) Calcule a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura.
b) Determine a expressão da população P , de bactérias, em função do tempo
c) Calcule o tempo necessário para que a população de bactérias se torne 30 vezes a população inicial.
(Em seus cálculos, use
Passo 1
O enunciado trata de bactérias cuja população inicial é
e que permanece constante por
dias; a partir do dia
a população cresce exponencialmente, dobrando a cada
horas. O conteúdo aqui é modelo de crescimento exponencial com tempo de duplicação e uso de logaritmos para encontrar tempo. Vamos precisar:
. Converter o período de duplicação (
h) em dias (
dia).
. Montar a função peça-por-peça: estática até
e exponencial depois.
. Usar a fórmula de crescimento exponencial e propriedades de logaritmo para responder (a), (b) e (c).
Passo 2
Como dobra a cada
Simplificando o expoente (\frac{t-2}{1/3}=3(t-2)], obtemos
]
Passo 3
Para
dias temos
, logo
Como
e
, resulta
Passo 4
Queremos
. Para
,
Tomando logaritmo decimal,
Sabendo
e
, vem
Assim
ou seja cerca de
dias e
horas.
Resposta
(a)
(c) Aproximadamente dias e
horas).