1. Em todos os triângulos de mesma base e perímetro, o isósceles é o que possui a maior área.
  2. Entre todos os triângulos de mesma base e ângulo vertical, o isósceles é o que possui a maior área.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos provar duas coisas de geometria de triângulos:
1. Entre todos os triângulos com mesma base a e mesmo perímetro 2s, o que tem maior área é o isósceles.
2. Entre todos os triângulos com mesma base a e mesmo ângulo no vértice oposto à base, digamos ang<= A=theta, o que tem maior área é o isósceles.
Para isso vamos usar fórmulas de área (Fórmula de Heron e Lei dos Senos) e argumentos de maximização pelo produto de dois termos fixando soma constante.

Passo 2

Prova do item 71 (base e perímetro fixos)
Seja um triângulo de lados a,b,c com perímetro
a+b+c=2s,
onde a é a base e s é o semiperímetro fixo. Pela Fórmula de Heron, sua área vale
S=raizs(s-a)(s-b)(s-c)
Como s e a são constantes, maximizar S equivale a maximizar o produto (s-b)(s-c). Defina
x = s-b, y = s-c
Então
x+y = 2s-(b+c)=2s-(2s-a)=a
é constante, e queremos maximizar xy sob x+y=a. Pelo Desigualdade AM– GM,
xy<=gl(x+y2gr)^2=l(tfrac a2r)^2,
com igualdade se, e somente se, x=y. Logo
s-b=s-cLongrightarrow b=c,
i.e.\ o triângulo de maior área é o isósceles.

Passo 3

Prova do item 72 (base e ângulo vertical fixos)
Seja triang<= ABC com base BC=a e ang<= A=theta fixo. Pela Lei dos Senos,
BCsin A =ABsin C =ACsin B =2R,
onde R é o raio do circuncírculo. A área pode ser escrita como
S=tfrac12,ABcdot ACcdotsin A =2R^2,sin B,sin C,sin A
Como a=BC=2Rsin A e theta=A são constantes, segue
S=a^22sin A,sin B,sin C
e resta maximizar sin B,sin C sob B+C=180^circ-A fixo. A função sin x é simétrica e côncava em [0,180^circ], de modo que, por simetria, sin B,sin C atinge o valor máximo quando
B=C
Isso equivale a AB=AC, ou seja, o triângulo de maior área é o isósceles.

Resposta

Em ambos os casos ( 71 e 72), o triângulo de área máxima é o isósceles.

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