- Em todos os triângulos de mesma base e perímetro, o isósceles é o que possui a maior área.
- Entre todos os triângulos de mesma base e ângulo vertical, o isósceles é o que possui a maior área.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Queremos provar duas coisas de geometria de triângulos:
. Entre todos os triângulos com mesma base
e mesmo perímetro
, o que tem maior área é o isósceles.
. Entre todos os triângulos com mesma base
e mesmo ângulo no vértice oposto à base, digamos
, o que tem maior área é o isósceles.
Para isso vamos usar fórmulas de área (Fórmula de Heron e Lei dos Senos) e argumentos de maximização pelo produto de dois termos fixando soma constante.
Queremos provar duas coisas de geometria de triângulos:
Para isso vamos usar fórmulas de área (Fórmula de Heron e Lei dos Senos) e argumentos de maximização pelo produto de dois termos fixando soma constante.
Passo 2
Prova do item
(base e perímetro fixos)
Seja um triângulo de lados com perímetro
Seja um triângulo de lados
onde
é a base e
é o semiperímetro fixo. Pela Fórmula de Heron, sua área vale
Como
e
são constantes, maximizar
equivale a maximizar o produto
. Defina
Então
é constante, e queremos maximizar
sob
. Pelo Desigualdade AM– GM,
com igualdade se, e somente se,
. Logo
i.e.\ o triângulo de maior área é o isósceles.
Passo 3
Prova do item
(base e ângulo vertical fixos)
Seja com base
e
fixo. Pela Lei dos Senos,
Seja
onde
é o raio do circuncírculo. A área pode ser escrita como
Como
e
são constantes, segue
e resta maximizar
sob
fixo. A função
é simétrica e côncava em
, de modo que, por simetria,
atinge o valor máximo quando
Isso equivale a
, ou seja, o triângulo de maior área é o isósceles.
Resposta
Em ambos os casos (
e
), o triângulo de área máxima é o isósceles.