• Estabelecer a série de Taylor de ( arcsen x)^2. (Pág. 203, ex. 5.)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor em torno de x=0 da função
f(x) = l(arcsin xr)^2
O conteúdo envolve séries de potências (Maclaurin), em particular a expansão de arcsin x e o produto (convolução) de séries para obter o quadrado.

Passo 2

Começamos recordando a expansão de Maclaurin de arcsin x:
arcsin x = sumk=0^infty ck,x^2k+1, ck = (2k)!4^k,(k!)^2,(2k+1)

Passo 3

Para obter l(arcsin xr)^2, fazemos o quadrado da série acima. Isso equivale a convoluir os coeficientes ck. Definindo
l(arcsin xr)^2 = sumn=0^infty An,x^2n+2,
temos, para n>=0,
An ;=;sumk=0^n ck,c,n-k ;=; sumk=0^n(2k)!4^k (k!)^2 (2k+1) ;(2(n-k))!4^,n-k ((n-k)!)^2 (2(n-k)+1)

Passo 4

Agora calculamos os primeiros termos práticos, usando
arcsin x = x + tfrac16x^3 + tfrac340x^5 + tfrac5112x^7 + cdots e convoltando:
  • Coeficiente de x^2:
A0 = c0^2 = 1^2 = 1
  • Coeficiente de x^4:
    A1 = 2,c0,c1 = 2cdot1cdottfrac16 = tfrac13
  • Coeficiente de x^6:
    A2 = 2,c0,c2 + c1^2 = 2cdot1cdottfrac340 + l(tfrac16r)^2 = tfrac320 + tfrac136 = tfrac845
  • Coeficiente de x^8:
    A3 = 2,c0,c3 + 2,c1,c2 = 2cdot1cdottfrac5112 + 2cdottfrac16cdottfrac340 = tfrac556 + tfrac140 = tfrac435

Passo 5

Reunindo, os primeiros termos da série de Maclaurin são
l(arcsin xr)^2 = x^2 + tfrac13,x^4 + tfrac845,x^6 + tfrac435,x^8 + cdots
Em forma geral, para n>=0, o termo de x^2n+2 é
An ;=;sumk=0^n(2k)!4^k,(k!)^2,(2k+1) ;(2(n-k))!4^,n-k,((n-k)!)^2,(2(n-k)+1)

Resposta

boxed (arcsin x)^2 = sumn=0^inftygl[sumk=0^n(2k)!4^k (k!)^2 (2k+1) (2(n-k))!4^,n-k ((n-k)!)^2 (2(n-k)+1)gr],x^2n+2,
cujo início é
x^2 + tfrac13,x^4 + tfrac845,x^6 + tfrac435,x^8 + cdots

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