Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem:
a0=1n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o critério de Cauchy, que a sequência
an = 1n
é convergente. O conteúdo que vamos usar é a definição de sequência de Cauchy: uma sequência convergente em R se, e somente se, ela for uma sequência de Cauchy.

Passo 2

Lembrando a definição de Cauchy: dizemos que an é de Cauchy se, para todo varepsilon>0, existe NinN tal que, sempre que m,n>= N, vale
|am - an| < varepsilon

Passo 3

No nosso caso, para m,n>=1 temos
|am - an| = l|1m - 1nr| <= 1m + 1n
Como m,n>= N implica 1m<=1N e 1n<=1N, obtemos
|am - an| <= 1N + 1N = 2N

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta escolher NinN tal que
2N < varepsilon,
por exemplo N > 2varepsilon. Com isso, para todo m,n>= N teremos |am - an|<varepsilon, isto é, an é de Cauchy.

Passo 5

Como toda sequência de Cauchy em R é convergente, concluímos que an converge. Observa-se ainda, por conhecimento prévio ou por limite direto, que
limntoinfty 1n = 0

Resposta

A sequência an = 1n é de Cauchy e, portanto, converge em R. Seu limite é 0.

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