Empregando o critúrio de convergência de Cauchy, mostrar que as seqü̂́ucias abaixo convergem: .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o critério de Cauchy, que a sequência
é convergente. O conteúdo que vamos usar é a definição de sequência de Cauchy: uma sequência convergente em se, e somente se, ela for uma sequência de Cauchy.
Passo 2
Lembrando a definição de Cauchy: dizemos que é de Cauchy se, para todo , existe tal que, sempre que , vale
Passo 3
No nosso caso, para temos
Como m,n>= N implica 1m<=1N e 1n<=1N, obtemos
|am - an| <= 1N + 1N = 2N
Passo 4
Dado varepsilon>0, basta escolher NinN tal que
2N < varepsilon,
por exemplo N > 2varepsilon. Com isso, para todo m,n>= N teremos |am - an|<varepsilon, isto é, an é de Cauchy.
Passo 5
Como toda sequência de Cauchy em R é convergente, concluímos que an converge. Observa-se ainda, por conhecimento prévio ou por limite direto, que
limntoinfty 1n = 0
Resposta
A sequência an = 1n é de Cauchy e, portanto, converge em R. Seu limite é 0.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 25.a