(Torneio das Cidades-89) Sabe-se que uma circunferência
pode ser inscrita no trapézio ABCD . Prove que as duas circunferências
construídas tendo como diâmetros os lados oblíquos do trapézio são tangentes e o ponto de tangência é o centro de
.
construídas tendo como diâmetros os lados oblíquos do trapézio são tangentes e o ponto de tangência é o centro de
Passo 1
Vamos considerar o trapézio
com
e que admite uma circunferência inscrita
de centro
. Definimos:
– circunferência de diâmetro
,
– circunferência de diâmetro
.
Queremos mostrar que e
são tangentes entre si e que o ponto de tangência é exatamente
.
–
–
Queremos mostrar que
Passo 2
Mostramos primeiro que
pertence às duas circunferências. Como
é circunscritível, a soma dos ângulos opostos é
. Em particular
portanto as bissetrizes internas desses ângulos são perpendiculares. Mas
é o ponto de interseção dessas bissetrizes, logo
Isto mostra que
está na circunferência de diâmetro
. Analogamente, como
, as bissetrizes em
e
também se cruzam em
fazendo
logo
pertence também à circunferência de diâmetro
.
Passo 3
Denotemos por
o ponto médio de
e por
o ponto médio de
. Então
é o centro de
e
é o centro de
. De
segue que, em
,
é hipotenusa e
o seu ponto médio; portanto
é o circuncentro de
e
Ou seja, o raio de
é
De modo idêntico, em
(com
), o ponto médio
de
é circuncentro, de onde
e o raio de
é
Passo 4
Falta ver que
e
se tocam externamente em
. Como o trapézio admite incírculo tem-se a condição dos lados
Por outro lado,
e
são pontos médios de
e
, então o segmento
(que é paralelo a
) satisfaz
Logo, usando
, obtemos
Isto mostra que as duas circunferências, de centros
e
e raios
e
, estão separadas pela distância exata da soma dos raios. Portanto são tangentes externamente e o único ponto comum entre elas é
.
Resposta
As circunferências de diâmetros
e
são tangentes externamente, e o ponto de tangência é o centro
da circunferência inscrita
.