(Torneio das Cidades-89) Sabe-se que uma circunferência \Gamma pode ser inscrita no trapézio ABCD . Prove que as duas circunferências
construídas tendo como diâmetros os lados oblíquos do trapézio são tangentes e o ponto de tangência é o centro de \Gamma.

Passo 1

Vamos considerar o trapézio ABCD com AB\parallel CD e que admite uma circunferência inscrita \Gamma de centro I. Definimos:
\alpha = circunferência de diâmetro AD,
\beta = circunferência de diâmetro BC.
Queremos mostrar que \alpha e \beta são tangentes entre si e que o ponto de tangência é exatamente I.

Passo 2

Mostramos primeiro que I pertence às duas circunferências. Como ABCD é circunscritível, a soma dos ângulos opostos é 180^\circ. Em particular
\angle A + \angle D = 180^\circ,
portanto as bissetrizes internas desses ângulos são perpendiculares. Mas I é o ponto de interseção dessas bissetrizes, logo
\angle AID = 90^\circ.
Isto mostra que I está na circunferência de diâmetro AD. Analogamente, como \angle B+\angle C=180^\circ, as bissetrizes em B e C também se cruzam em I fazendo
\angle BIC = 90^\circ,
logo I pertence também à circunferência de diâmetro BC.

Passo 3

Denotemos por M o ponto médio de AD e por N o ponto médio de BC. Então M é o centro de \alpha e N é o centro de \beta. De \angle AID=90^\circ segue que, em \triangle AID, AD é hipotenusa e M o seu ponto médio; portanto M é o circuncentro de \triangle AID e
MI = MA = MD = \frac{AD}{2}.
Ou seja, o raio de \alpha é
r_\alpha = MI = \frac{AD}{2}.
De modo idêntico, em \triangle BIC (com \angle BIC=90^\circ), o ponto médio N de BC é circuncentro, de onde
NI = NB = NC = \frac{BC}{2},
e o raio de \beta é
r_\beta = NI = \frac{BC}{2}.

Passo 4

Falta ver que \alpha e \beta se tocam externamente em I. Como o trapézio admite incírculo tem-se a condição dos lados
AB + CD = AD + BC.
Por outro lado, M e N são pontos médios de AD e BC, então o segmento MN (que é paralelo a AB\parallel CD) satisfaz
MN = \frac{AD + BC}{2}.
Logo, usando AD+BC=AB+CD, obtemos
MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{AD}{2} + \frac{BC}{2} = r_\alpha + r_\beta.
Isto mostra que as duas circunferências, de centros M e N e raios r_\alpha e r_\beta, estão separadas pela distância exata da soma dos raios. Portanto são tangentes externamente e o único ponto comum entre elas é I.

Resposta

As circunferências de diâmetros AD e BC são tangentes externamente, e o ponto de tangência é o centro I da circunferência inscrita \Gamma.

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