Traçar o gráfico das curvas:
x y-x-y=2

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da curva dada pela equação
x,y - x - y = 2
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma hipérbole (seção cônica) e identificação de seu centro e assíntotas.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a reconhecer o produto notável. Somando 1 em ambos os lados:
x,y - x - y + 1 = 3
e fatoramos:
(x - 1)(y - 1) = 3

Passo 3

A forma (x-1)(y-1)=3 mostra que se trata de uma hipérbole com centro em (1,1) e com assíntotas obtidas para os fatores nulos, ou seja:
x - 1 = 0Longrightarrow x = 1,
y - 1 = 0Longrightarrow y = 1

Passo 4

Para esboçar, expressamos y em função de x. De (x-1)(y-1)=3 vem
y - 1 = 3x - 1
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y = 1 + 3x - 1,
com domínio xneq 1.

Passo 5

Analisando o sinal de (x-1)(y-1)=3>0, concluímos que x-1 e y-1 têm o mesmo sinal. Assim há dois ramos:
  • Para x>1, tem-se y>1. Alguns pontos notáveis são
    x=2Rightarrow y=1+3/1=4 dando (2,4),
    x=4Rightarrow y=1+3/3=2 dando (4,2).
    Ao aproximar xto1^+, yto+infty; ao xto+infty, yto1^+.
  • Para x<1, tem-se y<1. Alguns pontos:
    x=0Rightarrow y=1+3/(-1)=-2 dando (0,-2),
    x=-2Rightarrow y=1+3/(-3)=0 dando (-2,0).
    Ao xto1^-, yto-infty; ao xto-infty, yto1^-.
Ligando esses pontos e desenhando as retas x=1 e y=1 como assíntotas, obtemos o esboço completo da hipérbole.

Resposta

O gráfico é a hipérbole de equação
(x-1)(y-1)=3,
com assíntotas x=1 e y=1, apresentando um ramo em x>1,y>1 e outro em x<1,y<1, e explicitamente y = 1 + tfrac3x-1.

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