Traçar o gráfico das curvas:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da curva dada pela equação
O conteúdo aqui é reconhecimento de uma hipérbole (seção cônica) e identificação de seu centro e assíntotas.
Passo 2
Reescrevemos a equação de forma a reconhecer o produto notável. Somando
em ambos os lados:
e fatoramos:
Passo 3
A forma
mostra que se trata de uma hipérbole com centro em
e com assíntotas obtidas para os fatores nulos, ou seja:
Passo 4
Para esboçar, expressamos
em função de
. De
vem
logo
com domínio
.
Passo 5
Analisando o sinal de
, concluímos que
e
têm o mesmo sinal. Assim há dois ramos:
- Para
, tem-se . Alguns pontos notáveis são
dando ,
dando .
Ao aproximar, ; ao , . - Para
, tem-se . Alguns pontos:
dando ,
dando .
Ao, ; ao , .
Ligando esses pontos e desenhando as retas
e
como assíntotas, obtemos o esboço completo da hipérbole.
Resposta
O gráfico é a hipérbole de equação
com assíntotas
e
, apresentando um ramo em
e outro em
, e explicitamente
.