Calcular os determinantes:
|rrra & cdot b & c a & 2 b & 3 c a & 3 b & 4 c|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
a & b & c a & 2b & 3c a & 3b & 4c
O conteúdo necessário é propriedade de fatoração de escalares em colunas (ou linhas) de determinantes e cálculo de determinante de matriz 3times3.

Passo 2

Observamos que cada coluna tem um fator comum: a primeira coluna é (a,a,a), a segunda é (b,2b,3b) e a terceira é (c,3c,4c). Logo, podemos fatorar
det = acdot bcdot c;det 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 3 & 4

Passo 3

Agora calculamos o determinante da matriz
M = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 3 & 4
Usando a regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha, obtemos
det M =1cdot(2cdot4 - 3cdot3) - 1cdot(1cdot4 - 3cdot1) + 1cdot(1cdot3 - 2cdot1) =(8-9)-(4-3)+(3-2) =-1 -1 +1 =-1

Passo 4

Substituindo de volta, o determinante original é
det = a,b,c times (-1) = -,a,b,c

Resposta

-,a,b,c

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