Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da função
usando as informações da primeira e da segunda derivada. O conteúdo é análise de curva: vamos precisar de
- primeiras derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos críticos;
- segunda derivada para concavidade e ponto de inflexão.
Passo 2
Calcular a primeira derivada:
Os pontos críticos vêm de
:
Passo 3
Analisar sinal de
para determinar onde a função cresce ou decresce.
Logo
- cresce em
e em , - decresce em
.
Emhá um máximo local e em um mínimo local.
Passo 4
Calcular a segunda derivada:
O ponto de inflexão vem de
, isto é
. Para concavidade:
- se
, então (concavidade voltada para baixo); - se
, então (concavidade voltada para cima).
Passo 5
Calcular as ordenadas dos pontos notáveis:
Isto é:
- máximo local em
, - mínimo local em
, - inflexão em
.
Os interceptos com os eixos: eme em temos e também .
Passo 6
Com essas informações, o esboço do gráfico é o de um polinômio ímpar do terceiro grau, que:
- cresce até o máximo em
, - decresce até o mínimo em
, - depois cresce indefinidamente;
- muda de concavidade em
.
Resposta
O gráfico de
tem:
- extremos em
(máximo) e (mínimo); - ponto de inflexão em
; - cresce em
e , decresce em ; - concava para baixo em
e para cima em .