Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
y=x^3-x

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da função
y = x^3 - x
usando as informações da primeira e da segunda derivada. O conteúdo é análise de curva: vamos precisar de
  1. primeiras derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos críticos;
  2. segunda derivada para concavidade e ponto de inflexão.

Passo 2

Calcular a primeira derivada:
y' = ddx(x^3-x) = 3x^2-1
Os pontos críticos vêm de y'=0:
3x^2-1=0 Longrightarrow x = pm 1raiz3

Passo 3

Analisar sinal de y' para determinar onde a função cresce ou decresce.
y'=3x^2-1>0 Long<=ftrightarrow x^2>tfrac13 Long<=ftrightarrow |x|>tfrac1raiz3
Logo
  • cresce em (-infty,-1/raiz3) e em (1/raiz3,+infty),
  • decresce em ( -1/raiz3,,1/raiz3).
    Em x=-1/raiz3 há um máximo local e em x=1/raiz3 um mínimo local.

Passo 4

Calcular a segunda derivada:
y'' = ddx(3x^2-1) = 6x
O ponto de inflexão vem de y''=0, isto é x=0. Para concavidade:
  • se x<0, então y''<0 (concavidade voltada para baixo);
  • se x>0, então y''>0 (concavidade voltada para cima).

Passo 5

Calcular as ordenadas dos pontos notáveis:
yl(pmtfrac1raiz3r) = l(pmtfrac1raiz3r)^3 - l(pmtfrac1raiz3r) = pm13raiz3;mp;1raiz3 = mp23raiz3
Isto é:
  • máximo local em l(-tfrac1raiz3,,tfrac23raiz3r),
  • mínimo local em l(tfrac1raiz3,,-tfrac23raiz3r),
  • inflexão em (0,0).
    Os interceptos com os eixos: em x=0 e em y=0 temos y(0)=0 e também y(pm1)=0.

Passo 6

Com essas informações, o esboço do gráfico é o de um polinômio ímpar do terceiro grau, que:
  • cresce até o máximo em x=-1/raiz3,
  • decresce até o mínimo em x=1/raiz3,
  • depois cresce indefinidamente;
  • muda de concavidade em x=0.

Resposta

O gráfico de y=x^3-x tem:
  • extremos em l(-tfrac1raiz3,tfrac23raiz3r) (máximo) e l(tfrac1raiz3,-tfrac23raiz3r) (mínimo);
  • ponto de inflexão em (0,0);
  • cresce em (-infty,-1/raiz3) e (1/raiz3,infty), decresce em (-1/raiz3,1/raiz3);
  • concava para baixo em x<0 e para cima em x>0.

Exercícios de Livros Relacionados