Traçar o gráfico das curvas:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da curva em coordenadas polares dada por
Conteúdo: curvas em coordenadas polares. Vamos precisar identificar o domínio de
, estudar simetrias, calcular
em ângulos-chave e esboçar o contorno resultante.
Passo 2
O parâmetro varia em
Para verificar simetrias, note que substituir
por
faz
Logo a curva é simétrica em relação ao eixo vertical (reta de
).
Passo 3
Calculemos
em ângulos notáveis:
-
-
(ponto mais distante do polo). -
-
(cúspide no polo). -
.
Entre esses valores,
varia suavemente, crescendo de
até
quando
vai de
a
, depois decresce até
em
e retorna a
em
.
Passo 4
Para esboçar, coloque cada ponto no seu ângulo:
- Em
marque no eixo positivo . - Em
marque no eixo positivo . - Em
marque no eixo negativo . - Em
o ponto é o próprio polo ( ), formando um cúspide.
Conecte esses pontos levando em conta quevaria continuamente.
Passo 5
O contorno resultante é uma cardioide (caso especial do limaçon de Pascal) com a “bola” maior voltada para cima, simétrica em relação ao eixo vertical, tendo uma cúspide no polo quando
.
Resposta
O gráfico de
é uma cardioide simétrica em torno do eixo vertical, com ponto mais distante do polo em
(onde
) e cúspide no polo em
.