Traçar o gráfico das curvas:
r=1+sen theta

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da curva em coordenadas polares dada por
r = 1 + sintheta
Conteúdo: curvas em coordenadas polares. Vamos precisar identificar o domínio de theta, estudar simetrias, calcular r em ângulos-chave e esboçar o contorno resultante.

Passo 2

O parâmetro varia em
thetain[0,2pi]
Para verificar simetrias, note que substituir theta por pi-theta faz
sin(pi-theta)=sinthetaLongrightarrow r(pi-theta)=1+sintheta=r(theta)
Logo a curva é simétrica em relação ao eixo vertical (reta de theta=pi/2).

Passo 3

Calculemos r em ângulos notáveis:
  • theta=0colon sin0=0implies r=1
  • theta=pi/2colon sin(pi/2)=1implies r=2 (ponto mais distante do polo).
  • theta=picolon sinpi=0implies r=1
  • theta=3pi/2colon sin(3pi/2)=-1implies r=0 (cúspide no polo).
  • theta=2picolon sin(2pi)=0implies r=1.
Entre esses valores, r varia suavemente, crescendo de 1 até 2 quando theta vai de 0 a pi/2, depois decresce até 0 em theta=3pi/2 e retorna a 1 em theta=2pi.

Passo 4

Para esboçar, coloque cada ponto no seu ângulo:
  • Em theta=0 marque r=1 no eixo positivo x.
  • Em theta=pi/2 marque r=2 no eixo positivo y.
  • Em theta=pi marque r=1 no eixo negativo x.
  • Em theta=3pi/2 o ponto é o próprio polo ( r=0), formando um cúspide.
    Conecte esses pontos levando em conta que r(theta) varia continuamente.

Passo 5

O contorno resultante é uma cardioide (caso especial do limaçon de Pascal) com a “bola” maior voltada para cima, simétrica em relação ao eixo vertical, tendo uma cúspide no polo quando theta=3pi/2.

Resposta

O gráfico de r=1+sintheta é uma cardioide simétrica em torno do eixo vertical, com ponto mais distante do polo em theta=pi/2 (onde r=2) e cúspide no polo em theta=3pi/2.

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