Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
y=e^x sen x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = e^xsin x
lembrando também as informações fornecidas pela primeira e segunda derivadas.
Conteúdos necessários: derivação de produto, estudo de monotonias (sinais de y'), estudo de concavidade (sinais de y'') e pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
y = e^xsin x
y' = ddx(e^x)sin x + e^xddx(sin x) = e^xsin x + e^xcos x = e^x(sin x + cos x)

Passo 3

Agora a segunda derivada, derivando y':
y' = e^x(sin x + cos x)
y'' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cos x - sin x) = e^xl[(sin x + cos x)+(cos x - sin x)r] = 2e^xcos x

Passo 4

Estudo de pontos críticos e monotonia:
bul<=t Zeros de y' ocorrem quando
e^x(sin x + cos x) = 0 Long<=ftrightarrow sin x + cos x = 0 Long<=ftrightarrow tan x = -1 Long<=ftrightarrow x = -tfracpi4 + kpi,;kinZ
bul<=t Para verificar se cada ponto é máximo ou mínimo, checamos o sinal de sin x+cos x à esquerda e à direita de cada zero. Por exemplo, em x=-tfracpi4 a derivada muda de negativa para positiva, dando um mínimo local. Em x=3pi/4 muda de positiva para negativa, dando um máximo local. E assim sucessivamente, alternando mínimos e máximos a cada pi.

Passo 5

Estudo de concavidade e pontos de inflexão:
bul<=t Zeros de y'' ocorrem quando
2e^xcos x = 0 Long<=ftrightarrow cos x = 0 Long<=ftrightarrow x = tfracpi2 + kpi,;kinZ
bul<=t Como e^x>0, temos
y''>0 (concavidade para cima) quando cos x>0, isto é, em -tfracpi2+2kpi < x < tfracpi2+2kpi.
y''<0 (concavidade para baixo) quando cos x<0, isto é, em tfracpi2+2kpi < x < tfrac3pi2+2kpi.
Cada zero de y'' é ponto de inflexão.

Passo 6

Esboço do gráfico:
bul<=t A função oscila como sin x, mas a amplitude cresce exponencialmente em xto+infty e decai para zero em xto-infty.
bul<=t Os extremos locais estão em x=-tfracpi4+kpi.
bul<=t Os pontos de inflexão estão em x=tfracpi2+kpi.
bul<=t Entre os extremos e inflexões a curva alterna concavidade para cima e para baixo, sempre encaixada entre as “envoltórias”
y = pm e^x

Resposta

A função y=e^xsin x tem:
y'=e^x(sin x+cos x), zeros em x=-tfracpi4+kpi (extremos locais alternados mínimo/máximo).
y''=2e^xcos x, zeros em x=tfracpi2+kpi (pontos de inflexão).
O gráfico é uma senóide de amplitude crescente para xto+infty e decrescente para xto-infty, com extremos locais a cada pi e inflexões a meio caminho entre eles, sempre encaixado entre as curvas y=pm e^x.

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