Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
lembrando também as informações fornecidas pela primeira e segunda derivadas.
Conteúdos necessários: derivação de produto, estudo de monotonias (sinais de ), estudo de concavidade (sinais de
) e pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Conteúdos necessários: derivação de produto, estudo de monotonias (sinais de
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
Passo 3
Agora a segunda derivada, derivando
:
Passo 4
Estudo de pontos críticos e monotonia:
Zeros de
ocorrem quando
Passo 5
Estudo de concavidade e pontos de inflexão:
Zeros de
ocorrem quando
–
–
Cada zero de
Passo 6
Esboço do gráfico:
A função oscila como
, mas a amplitude cresce exponencialmente em
e decai para zero em
.
Os extremos locais estão em
.
Os pontos de inflexão estão em
.
Entre os extremos e inflexões a curva alterna concavidade para cima e para baixo, sempre encaixada entre as “envoltórias”
Resposta
A função
tem:
– , zeros em
(extremos locais alternados mínimo/máximo).
– , zeros em
(pontos de inflexão).
O gráfico é uma senóide de amplitude crescente para e decrescente para
, com extremos locais a cada
e inflexões a meio caminho entre eles, sempre encaixado entre as curvas
.
–
–
O gráfico é uma senóide de amplitude crescente para