Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xx=log |x|+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por derivação, que
integral dxx = log|x| + C
Ou seja, temos que mostrar que a função
F(x) = log|x| + C
é uma primitiva de f(x)=1/x.

Passo 2

Vamos derivar F(x)=log|x|+C. Para isso, lembramos que
log|x| = ln(x), & x>0, ln(-x), & x<0
Em cada caso aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Se x>0, então F(x)=ln(x)+C e
F'(x) = ddxl(ln(x)r) = 1x
Se x<0, então F(x)=ln(-x)+C e, pela regra da cadeia,
F'(x) = 1-xcdot(-1) = 1x
Em ambos os ramos obtemos F'(x)=1/x, que é exatamente o integrando.

Resposta

A derivada de log|x|+C é tfrac1x, logo
integral dxx = log|x| + C

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