Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral d xx raizx^2-a^2=1a arccos ax+c

Passo 1

O enunciado pede verificar, por integração e por derivação, a fórmula
integral dxxraizx^2-a^2 ;=;1a,arccosax+C
O conteúdo usado será substituição trigonométrica e, em seguida, conferência por derivação.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica clássica para raízes do tipo raizx^2-a^2:
x = asectheta, dx = asecthetatantheta,dtheta, raizx^2-a^2 = atantheta

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral dxxraizx^2-a^2 = integral asecthetatantheta,dtheta(asectheta),(atantheta) = integral dthetaa = thetaa + C

Passo 4

Voltando a : de segue e
. Como , temos
logo

Passo 5

Verificação por derivação. Seja
F(x)=1a,arccosax
Então
F'(x) =1a,l(-1raiz1-(a/x)^2r),l(-ax^2r) =1xraizx^2-a^2,
que coincide com o integrando, confirmando a fórmula.

Resposta

integral dxxraizx^2-a^2 = 1a,arccosax + C

Exercícios de Livros Relacionados