Por meio dạ diferencial, calcular aproximadamente os números dados abaixo; em seguida, verificar a precisão dos resultados com uma tabela com cingo deoimais:
log (1,02).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar log10(1,02) usando a diferencial (linearização) e, em seguida, verificar a precisão comparando com o valor “tabelado” arredondado a cinco casas decimais. O conteúdo é a linearização de funções via diferencial.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=log10(x)
Sua derivada é
f'(x)=1xln 10
Para aproximar f(1,02), escolhemos o ponto base x0=1 e De<a x=0,02. A linearização (fórmula da diferencial) diz
f(1+De<a x)approx f(1)+f'(1),De<a x

Passo 3

Calculamos
f(1)=log10(1)=0, f'(1)=11cdotln 10=1ln 10
Logo
log10(1,02)approx 0 + 1ln 10cdot0,02 = 0,02ln 10
Usando ln 10approx2,302585093, obtemos
log10(1,02)approx 0,022,302585093approx0,008686

Passo 4

O valor “tabelado” (exato) é
log10(1,02)=ln(1,02)ln 10approx0,00860017ldots
Arredondando a cinco casas decimais, fica
log10(1,02)approx0,00860

Passo 5

Erro absoluto da aproximação linear:
l|0,008686 - 0,00860017r|approx0,0000858,
ou seja, cerca de 8,6times10^-5.

Resposta

Aproximação via diferencial:
log10(1,02)approx0,008686
Valor real (cinco casas decimais):
log10(1,02)approx0,00860
Erro absoluto approx0,0000858.

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