Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função
para todo
, determinando suas derivadas de primeira e segunda ordem, e a partir delas estudar monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assimptotas. O conteúdo envolvido é análise de curva via cálculo diferencial.
Passo 2
Calcular e estudar a primeira derivada.
Derivando por quociente, com e
, temos
Derivando por quociente, com
Zeramos
para achar críticos:
O sinal de
é
- positivo se
, - negativo se
.
Logocresce em e decresce em e em , dando máximo local em e mínimo local em .
Passo 3
Calcular e estudar a segunda derivada.
Partimos de
Partimos de
Usando derivada de quociente ou produto, chega-se a
As possíveis inflexões ocorrem quando
, isto é, em
O sinal de
(numerador
) indica
-
(concavidade para cima) se ou , -
(concavidade para baixo) se ou .
Passo 4
Analisar comportamentos assintóticos e interceptos.
- Limites em
:
logo há assimptota horizontal
.
- Intercepto com eixo
: em temos . - Simetria: como
, a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem. - Valores nos extremos:
Passo 5
Esboço do gráfico com todas as informações:
- Dominio:
. - Crescente em
, decrescente em e . - Máximo local
, mínimo local . - Pontos de inflexão em
. - Concavidade para baixo entre
e , para cima fora desse intervalo. - Assimptota horizontal
. - Passa por
e é ímpar.
Resposta
O gráfico é uma curva que parte de
em
, desce até o mínimo
, inflete em
, cresce até o ponto de inflexão em
(passando pela origem), atinge o máximo
, inflete em
e depois decresce assintoticamente para
quando
. A assimptota horizontal é
.