Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos esboçar o gráfico da função
y = x1 + x^2
para todo xinR, determinando suas derivadas de primeira e segunda ordem, e a partir delas estudar monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e assimptotas. O conteúdo envolvido é análise de curva via cálculo diferencial.

Passo 2

Calcular e estudar a primeira derivada.
Derivando por quociente, com u(x)=x e v(x)=1+x^2, temos
y' = u'v - u,v'v^2 = 1cdot(1+x^2) - xcdot 2x(1+x^2)^2 = 1 - x^2(1+x^2)^2
Zeramos y'=0 para achar críticos:
1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm 1
O sinal de y' é
  • positivo se |x|<1,
  • negativo se |x|>1.
    Logo y cresce em (-1,1) e decresce em (-infty,-1) e em (1,infty), dando máximo local em x=1 e mínimo local em x=-1.

Passo 3

Calcular e estudar a segunda derivada.
Partimos de
y'=1-x^2(1+x^2)^2
Usando derivada de quociente ou produto, chega-se a
y'' = -2x,(1+x^2)^2 ;-;(1-x^2),4x,(1+x^2)(1+x^2)^4 = -2x,(3 - x^2)(1+x^2)^3
As possíveis inflexões ocorrem quando y''=0, isto é, em
x=0 ou x^2=3;Longrightarrow;x=pmraiz3
O sinal de y'' (numerador =-2x(3-x^2)) indica
  • y''>0 (concavidade para cima) se x>raiz3 ou x<-raiz3,
  • y''<0 (concavidade para baixo) se -raiz3<x<0 ou 0<x<raiz3.

Passo 4

Analisar comportamentos assintóticos e interceptos.
  • Limites em pminfty:
limxtopminftyx1+x^2=0,
logo há assimptota horizontal y=0.
  • Intercepto com eixo y: em x=0 temos y(0)=0.
  • Simetria: como y(-x)=-y(x), a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem.
  • Valores nos extremos:
y(1)=12, y(-1)=-12

Passo 5

Esboço do gráfico com todas as informações:
  • Dominio: R.
  • Crescente em (-1,1), decrescente em (-infty,-1) e (1,infty).
  • Máximo local l(1,tfrac12r), mínimo local l(-1,-tfrac12r).
  • Pontos de inflexão em x=-raiz3,0,raiz3.
  • Concavidade para baixo entre -raiz3 e raiz3, para cima fora desse intervalo.
  • Assimptota horizontal y=0.
  • Passa por (0,0) e é ímpar.

Resposta

O gráfico é uma curva que parte de yto0^- em xto-infty, desce até o mínimo l(-1,-tfrac12r), inflete em x=-raiz3, cresce até o ponto de inflexão em x=0 (passando pela origem), atinge o máximo l(1,tfrac12r), inflete em x=raiz3 e depois decresce assintoticamente para y=0^+ quando xto+infty. A assimptota horizontal é y=0.

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