Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
y=sen x+sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
y=sin x+sin2x
usando a primeira e a segunda derivadas. Vamos precisar de derivadas para achar monotonicidade (onde a função sobe ou desce), de derivadas de ordem 2 para concavidade (côncava para cima ou para baixo) e de trigonometria (identidades e período).

Passo 2

Calcular a primeira derivada:
y'=ddx(sin x+sin2x)=cos x+2cos2x
Para achar pontos críticos resolvemos y'=0. Use cos2x=2cos^2x-1 e passe para t=cos x:
cos x+2(2cos^2x-1)=0 Longrightarrow 4t^2+t-2=0
As raízes são
t=-1pmraiz1+328=-1pmraiz338,
isto é t1approx0,593 e t2approx-0,843. Como |ti|<=1, existem quatro soluções em [0,2pi):
x1=arccos(0,593)approx0,927, x2=2pi-0,927approx5,356,
x3=arccos(-0,843)approx2,565, x4=2pi-2,565approx3,718

Passo 3

Analisar o sinal de y' em cada intervalo:
  • Em 0<x<x1: teste x=0,5, y'>0 to função crescente.
  • Em x1<x<x3: teste x=1,5, y'<0 to decrescente.
  • Em x3<x<x2: teste x=3, y'>0 to crescente.
  • Em x2<x<2pi: teste x=6, y'<0 to decrescente.
    Logo x1,,x3 são máximos locais e x2,,x4 mínimos locais.

Passo 4

Calcular a segunda derivada:
y''=-sin x-4sin2x
Use sin2x=2sin xcos x para fatorar:
y''=-sin x,(1+8cos x)
Zera quando sin x=0 ( x=0,pi,2pi) ou cos x=-tfrac18 ( xapprox1,696 e xapprox4,587). Nessas abscissas mudam a concavidade (pontos de inflexão). Testando o sinal de y'' entre esses pontos, identificamos as regiões côncavas para cima ( y''>0) ou para baixo ( y''<0).

Passo 5

Calcular os valores de y nos pontos críticos para determinar as amplitudes:
y(0,927)approxsin0,927+sin1,854approx0,799+0,960=1,759,
y(2,565)approxsin2,565+sin5,130approx0,542-0,917=-0,375,
y(3,718)approxsin3,718+sin7,436approx-0,543+0,914=0,371,
y(5,356)approxsin5,356+sin10,712approx-0,796-0,961=-1,757
Portanto o gráfico oscila entre approx-1,76 e approx1,76 a cada período 2pi.

Passo 6

No esboço final marcamos:
  • Ponto de partida (0,0),
  • Máximo principal em (0,927,1,759),
  • Mínimo secundário em (2,565,-0,375),
  • Máximo secundário em (3,718,0,371),
  • Mínimo principal em (5,356,-1,757),
  • Retorno a zero em x=2pi.
    Entre esses pontos, seguimos a monotonicidade dada por y' e a concavidade dada por y''. O período da função é 2pi e o gráfico se repete indefinidamente.

Resposta

O gráfico de y=sin x+sin2x é uma curva periódica de período 2pi, com extremos locais em
(x1,y1)approx(0,927,1,759),; (x2,y2)approx(2,565,-0,375),; (x3,y3)approx(3,718,0,371),; (x4,y4)approx(5,356,-1,757),
e pontos de inflexão em
x=0,;pi,;2pi,;xapprox1,696,;xapprox4,587
Nos trechos determinados por esses valores, a função alterna entre regiões crescentes/decrescentes (conforme o sinal de cos x+2cos2x) e côncavas para cima/para baixo (conforme o sinal de -sin x-4sin2x).

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