Traçar o gráfico das seguintes funções, lembrando a primeira e a segunda derivadas:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
usando a primeira e a segunda derivadas. Vamos precisar de derivadas para achar monotonicidade (onde a função sobe ou desce), de derivadas de ordem
para concavidade (côncava para cima ou para baixo) e de trigonometria (identidades e período).
Passo 2
Calcular a primeira derivada:
Para achar pontos críticos resolvemos
. Use
e passe para
:
As raízes são
isto é
e
. Como
, existem quatro soluções em
:
Passo 3
Analisar o sinal de
em cada intervalo:
- Em
: teste , função crescente. - Em
: teste , decrescente. - Em
: teste , crescente. - Em
: teste , decrescente.
Logosão máximos locais e mínimos locais.
Passo 4
Calcular a segunda derivada:
Use
para fatorar:
Zera quando
(
) ou
(
e
). Nessas abscissas mudam a concavidade (pontos de inflexão). Testando o sinal de
entre esses pontos, identificamos as regiões côncavas para cima (
) ou para baixo (
).
Passo 5
Calcular os valores de
nos pontos críticos para determinar as amplitudes:
Portanto o gráfico oscila entre
e
a cada período
.
Passo 6
No esboço final marcamos:
- Ponto de partida
, - Máximo principal em
, - Mínimo secundário em
, - Máximo secundário em
, - Mínimo principal em
, - Retorno a zero em
.
Entre esses pontos, seguimos a monotonicidade dada pore a concavidade dada por . O período da função é e o gráfico se repete indefinidamente.
Resposta
O gráfico de
é uma curva periódica de período
, com extremos locais em
e pontos de inflexão em
Nos trechos determinados por esses valores, a função alterna entre regiões crescentes/decrescentes (conforme o sinal de
) e côncavas para cima/para baixo (conforme o sinal de
).