O tempo para consertar um liquidificador tem uma distribuição de probabilidade exponencial:
f(x)= 0.04545 e^-x / 22 & se x>0 0 & se x <= 0
isto é, em média 22 minutos.
(a) Determine a probabilidade de que o tempo do conserto seja menor que 10 minutos.
(b) Se o custo do conserto é de 20 u. m. por cada 30 minutos ou fração de reparos; qual é a probabilidade de que um conserto custe 40 u.m?
(c) Para um planejamento futuro, quanto tempo se deve utilizar em cada conserto para que a probabilidade de que qualquer tempo de reparo maior que o tempo dado seja de 0.1 ?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de conserto X (em minutos) segue uma distribuição exponencial com densidade
f(x)=0.04545,e^-x/22, x>0,
logo o parâmetro é lambda=1/22 e a média é 22. Vamos usar que
F(x)=P(X<= x)=1-e^-lambda x,
e que a função de sobrevivência é
P(X> x)=e^-lambda x

Passo 2

(a) A probabilidade de que o tempo seja menor que 10 minutos é
P(X<10)=F(10)=1-e^-(1/22)cdot10=1-e^-10/22
Numericamente,
e^-10/22approx e^-0.4545approx0.634, P(X<10)approx1-0.634=0.366

Passo 3

(b) O custo é de 20 u.m. para cada 30 minutos ou fração. Para custar 40 u.m. precisamos de duas fatias de 30 min, isto é, 30<X<=60. Então
P(custo=40)=P(30<X<=60) =P(X>30)-P(X>60) =e^-30/22-e^-60/22
Numericamente,
e^-30/22approx e^-1.3636approx0.256, e^-60/22approx e^-2.7273approx0.0665,
logo
P(custo=40)approx0.256-0.0665=0.1895approx0.19

Passo 4

(c) Queremos t tal que P(X>t)=0.1. Usando
P(X>t)=e^-t/22=0.1
temos
-t/22=ln(0.1)Longrightarrow t=-22ln(0.1)=22ln(10)approx22times2.3026approx50.66 min

Resposta

(a) P(X<10)=1-e^-10/22approx0.366
(b) P(custo=40)=e^-30/22-e^-60/22approx0.19
(c) t=-22ln(0.1)approx50.66 minutos.

Exercícios de Livros Relacionados