Em um triângulo A B C, o ângulo do vértice A é igual à oitava parte do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos adjacentes a BC. Determine a medida do ângulo do vértice A.

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo ABC o ângulo do vértice A vale a oitava parte do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes internas dos ângulos em B e em C. O conteúdo aqui é geometria de triângulos e, em particular, a propriedade do ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois vértices de um triângulo. Vamos usar essa propriedade para relacionar ang<= A com esse ângulo obtuso.

Passo 2

Em qualquer triângulo, as bissetrizes internas dos ângulos em B e em C se encontram no incentro e formam, nesse ponto, um ângulo
ang<= BIC = 90^circ + ang<= A2,
sendo esse o ângulo obtuso mencionado.

Passo 3

Pelo enunciado, temos
ang<= A = 18,l(ang<= BICr) Longrightarrow ang<= A = 18,l(90^circ + ang<= A2r)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 8, fica
8,ang<= A = 90^circ + ang<= A2 Longrightarrow 8,ang<= A - ang<= A2 = 90^circ Longrightarrow 16,ang<= A - ang<= A2 = 90^circ Longrightarrow 15,ang<= A2 = 90^circ
Então
15,ang<= A = 180^circ Longrightarrow ang<= A = 12^circ

Resposta

A medida do ângulo do vértice A é 12^circ.

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