Um triângulo isósceles A B C gira ao redor de uma reta paralela à base B C e passando pelo seu vértice A. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que a base mede 3 cm e os lados congruentes medem 4 cm .

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo isósceles ABC de base BC=3 cm e lados AB=AC=4 cm que gira em torno de uma reta paralela a BC e passando por A. O objetivo é encontrar o volume do sólido de revolução. Vamos usar o Teorema de Pappus (segunda fórmula de Guldinus):
V = área do triângulo times comprimento da trajetória do centróideáâóó

Passo 2

Calcular a altura h do triângulo relativa à base BC.
Como os lados iguais medem 4 cm e a metade da base é BC/2=1,5 cm,
h = raiz4^2 - (1,5)^2 = raiz16 - 2,25 = raiztfrac554 = raiz552,cm

Passo 3

Determinar a área A do triângulo:
A = basetimesa<ura2 = 3 times h2 = 32times raiz552 = 3raiz554,cm^2

Passo 4

A posição do centróide G de um triângulo está a um terço da altura a partir da base. Aqui, medindo a distância de G até a reta de rotação (reta em A), temos
d = h - h3 = 2h3 = 23times raiz552 = raiz553,cm
O centróide percorre uma circunferência de raio d, de comprimento
2pi d = 2pi times raiz553 = 2piraiz553

Passo 5

Aplicando Pappus:
V = A times (2pi d) = 3raiz554 times 2piraiz553 = 34times23times pitimes 55 = 55pi2,cm^3

Resposta

V = 55pi2,cm^3

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